[论文解读] Systems and Categories

Juan Pablo Ramírez|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文提出了一套基于对象与关系定义的数学基础框架，通过结构、对称性和继承的概念，统一范畴论、集合论与代数结构。该框架公理化地构建了整数与有理数，通过凯莱定理建立其与自同构群之间的函子同构，并证明了拓扑系统可完全由基确定，且闭包与开集构造等价。

ABSTRACT

The attempt is to give a formal concpet of system, and with this provide a definition of category, that will also satisfy the definition of a system. An axiomatic base is given, for constructing the group of integers. In the process, we define a group of automorphisms; we are defining an ordered group of functors with a natural transformation between any two. We give an isomorphism from the group of integers into the group of automorphisms, as guaranteed by Cayley's Theorem. The ultimate aim is to use these definitions and concepts, of system and category, to give a general description of mathematics. The third chapter is dedicated to set theory and we provide a proof of the Yoneda Lemma. This is used to prove Cayley's theorem. We see how this relates to the construction of the integers, before introducing representable functors. After lattices, we devote a chapter to group theory. We conlcude with a brief description of topological systems; we describe them as functors on algebraic categories, with a subset of invariant objects. This new version includes a first description of linear spaces. The section for operations has been rewritten and corrected.

研究动机与目标

• 基于由对象与关系定义的系统，发展一个统一的概念框架。
• 将结构、对称性与继承的原则形式化为数学系统中的通用组成部分。
• 证明范畴论——特别是函子与自然变换——能够建模数学系统中的继承关系与系统形成。
• 从系统理论视角公理化地构建整数与有理数，并通过凯莱定理证明其与自同构群的同构性。
• 证明拓扑系统完全由基决定，且闭包构造与开集构造等价。

提出的方法

• 将系统定义为对象与关系的集合，以结构、对称性与继承为核心原则。
• 使用具有定义域、上域、单位元与复合运算的元范畴，形式化箭头与范畴。
• 通过在基对象上进行幂运算构造整数，从而与自同构群建立群同构。
• 通过乘积、对偶序与对合运算定义有理数系统，并引入加法与乘法运算。
• 通过基表示拓扑系统，并以基元素定义闭包运算。
• 证明由基导出的闭包函子与通过开集定义的闭包运算等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅通过对象与关系正式定义数学系统？
• RQ2 在由现有系统形成新系统的过程中，结构、对称性与继承等普遍原则在其中起什么作用？
• RQ3 范畴论、函子与自然变换在多大程度上能够建模数学系统中的继承关系？
• RQ4 如何从系统理论视角公理化地构建整数与有理数？
• RQ5 拓扑系统是否完全由基决定？闭包构造与开集构造是否等价？

主要发现

• 系统被正式定义为对象与关系的集合，其中结构、对称性与继承为基本原理。
• 整数的构造通过在基对象上进行幂运算实现，从而与自同构群建立群同构，此结果由凯莱定理保证。
• 有理数系统通过双序、对合运算及加法与乘法运算定义，确保代数封闭性。
• 拓扑系统的基唯一确定了开集与闭包运算，建立了基导出闭包与开集导出闭包之间的等价性。
• 通过基定义的闭包函子与标准闭包运算同构，证明了拓扑系统完全由其基决定。
• 该框架成功地在单一系统理论基础上统一了集合论、范畴论与代数系统。