[论文解读] Systems formed by translates of one element in $L_p(\mathbb R)$

Edward Odell, Bünyamin Sarı+2 more|ArXiv.org|Jun 5, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究了由单个函数 $f\in L_p(\mathbb{R})$ 在均匀离散集 $\Lambda\subseteq\mathbb{R}$ 上的平移生成的 $L_p(\mathbb{R})$ 的闭子空间 $X_p(f,\Lambda)$ 的结构。利用几何泛函分析方法，本文证明：当 $1\leq p\leq 2$ 时，平移的无条件基序列等价于 $\ell_p$ 基；当 $2<p\leq 4$ 时，该空间可嵌入 $\ell_p$，但未必同构于 $\ell_p$；当 $p>4$ 时，此类系统可包含 $L_p(\mathbb{R})$ 的同构拷贝，从而解决了翻译系统理论中一个长期存在的开放问题。

ABSTRACT

Let $1\le p 4$, there exists $f\in L_p( eal)$ and $Λ\subseteq \zed$ so that $\{f_{(λ)} :λ\inΛ\}$ is unconditional basic and $L_p( eal)$ embeds isomorphically into $X_p (f,Λ)$.

研究动机与目标

• 确定由 $f\in L_p(\mathbb{R})$ 在均匀离散集 $\Lambda\subseteq\mathbb{R}$ 上的平移生成的子空间 $X_p(f,\Lambda)$ 的几何结构。
• 研究此类系统在 $L_p(\mathbb{R})$ 中何时构成无条件基、极小系或框架。
• 明确此类平移系统与经典基（如 $\ell_p$）等价或嵌入 $\ell_p$ 的程度。
• 解决关于 $L_p(\mathbb{R})$ 中由平移构成的基或框架存在的开放问题，其中 $1<p<\infty$。

提出的方法

• 运用几何泛函分析理论，特别是无条件基与嵌入性质，分析 $X_p(f,\Lambda)$ 的结构。
• 利用对偶性与双正交泛函，研究 $\ell_p(\mathbb{Z}, X)$ 与 $\ell_q(\mathbb{Z}, X^*)$ 中平移系统的性质，其中 $X$ 为自反空间。
• 应用调和分析结果，如 Wiener 的 Tauberian 定理及傅里叶变换的性质，刻画 $X_p(f,\Lambda)=L_p(\mathbb{R})$ 的条件。
• 为 $p>4$ 构造显式例子，证明 $X_p(f,\Lambda)$ 可包含 $L_p(\mathbb{R})$ 的同构拷贝，利用无条件基序列的性质。
• 通过弱*-稠密性论证与投影，导出当假设某些平移系统在 $\ell_p(\mathbb{Z}, X)$ 中构成基（$X$ 为有限维）时的矛盾。
• 利用关于指数系 $\mathcal{E}(\Lambda)$ 的密度及量 $R(\Lambda)$ 的已知结果，刻画 $L_1(\mathbb{R})$-函数生成稠密平移系统的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $1\leq p\leq 2$ 时，$f\in L_p(\mathbb{R})$ 的平移的无条件基序列是否等价于 $\ell_p$ 的单位向量基？
• RQ2 当 $2<p\leq 4$ 时，若平移构成无条件基序列，则 $X_p(f,\Lambda)$ 是否可同构嵌入 $\ell_p$？
• RQ3 当 $p>4$ 时，若平移构成无条件基序列，则 $X_p(f,\Lambda)$ 是否可包含 $L_p(\mathbb{R})$ 的同构拷贝？
• RQ4 是否存在 $f\in L_p(\mathbb{R})$ 与均匀离散集 $\Lambda$，使得 $\{f_{(\lambda)}\}_{\lambda\in\Lambda}$ 构成 $L_p(\mathbb{R})$ 的基或框架？
• RQ5 当 $\{f_{(\lambda)}\}$ 为有界极小系或框架时，$X_1(f,\Lambda)$ 是否可嵌入 $\ell_1$？

主要发现

• 当 $1\leq p\leq 2$ 时，若 $\{f_{(\lambda)}\}_{\lambda\in\Lambda}$ 是 $L_p(\mathbb{R})$ 中的无条件基序列，则其等价于 $\ell_p$ 的单位向量基。
• 当 $2<p\leq 4$ 时，若 $\{f_{(\lambda)}\}_{\lambda\in\Lambda}$ 是无条件基序列，则 $X_p(f,\Lambda)$ 可同构嵌入 $\ell_p$，尽管该序列未必等价于 $\ell_p$ 基。
• 当 $p>4$ 时，存在 $f\in L_p(\mathbb{R})$ 与均匀离散集 $\Lambda\subseteq\mathbb{Z}$，使得 $\{f_{(\lambda)}\}_{\lambda\in\Lambda}$ 为无条件基序列，且 $X_p(f,\Lambda)$ 包含 $L_p(\mathbb{R})$ 的同构拷贝，因此也包含 $L_p[0,1]$ 的同构拷贝。
• 当 $p=1$ 时，若 $\{f_{(\lambda)}\}_{\lambda\in\Lambda}$ 为有界极小系，则 $X_1(f,\Lambda)$ 几乎等距嵌入 $\ell_1$，若其为框架，结论同样成立。
• 在 $L_1(\mathbb{R})$ 中，此类系统无法生成整个空间：对任意均匀离散集 $\Lambda$，均有 $X_1(f,\Lambda)\neq L_1(\mathbb{R})$，从而证实了一个常识性定理。
• 当 $2<p<\infty$ 时，若 $\{f_{(\lambda)}\}_{\lambda\in\Lambda}$ 是 $L_p(\mathbb{R})\cap L_2(\mathbb{R})$ 中的无条件基序列，则其等价于 $\ell_2$ 的单位向量基。