[论文解读] Syzygies of Cohen-Macaulay modules over one dimensional Cohen-Macaulay local rings

Toshinori Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文研究了一维科恩-麦克aul伊局部环上极大科恩-麦克aul伊模的挠关系，重点通过自同态环 $E = \operatorname{End}_R(\mathfrak{m})$ 描述其结构。研究结果表明：$\Omega\mathrm{CM}(E) = \Omega\mathrm{CM}'(R)$ 当且仅当 $R$ 具有最小乘法性；$\mathrm{CM}(E) = \Omega\mathrm{CM}'(R)$ 当且仅当 $R$ 为几乎广中环。这些结果通过挠模刻画了几乎广中环，并表明在这些条件下 $\Omega\mathrm{CM}(R)$ 为有限类型。

ABSTRACT

We study syzygies of (maximal) Cohen-Macaulay modules over one dimensional Cohen-Macaulay local rings. We compare these modules to Cohen-Macaulay modules over the endomorphism ring of the maximal ideal. After this comparison, we give several characterizations of almost Gorenstein rings in terms of syzygies of Cohen-Macaulay modules.

研究动机与目标

• 理解一维科恩-麦克aul伊局部环上极大科恩-麦克aul伊模的挠关系结构。
• 比较环 $R$ 上的挠模与自同态环 $E = \operatorname{End}_R(\mathfrak{m})$ 上的挠模。
• 以科恩-麦克aul伊 $R$-模的挠模为工具，刻画几乎广中环。
• 确定范畴 $\Omega\mathrm{CM}(R)$ 为有限类型的情形。
• 构造 $\mathrm{CM}(E)$ 为有限类型的情形，并将其与稳定范畴 $\underline{\mathrm{CM}}(R)$ 的维数联系起来。

提出的方法

• 利用自同态环 $E = \operatorname{End}_R(\mathfrak{m})$ 将 $R$ 上的挠模与 $E$ 上的挠模联系起来，借助 $E$ 的科恩-麦克aul伊性与半局部性。
• 应用可逆模理论及通过 $\mathcal{F}_n(A)$ 表示的 $n$-挠自由条件，刻画 $\mathrm{CM}(A)$ 与 $\Omega\mathrm{CM}(A)$。
• 利用 Auslander 转置 $\mathsf{Tr}M$ 与 $\mathrm{Ext}$ 的消去条件，识别挠模与科恩-麦克aul伊模。
• 通过归纳构造环链 $R_n = \operatorname{End}_{R_{n-1}}(\mathfrak{m}_{n-1})$，构建具有受控稳定范畴维数的示例。
• 利用 $\mathrm{CM}(E)$ 为有限类型这一事实，在特定条件下推导出 $\Omega\mathrm{CM}(R)$ 也为有限类型。
• 利用 Rouquier 的三角范畴维数理论，将 $\dim\underline{\mathrm{CM}}(R)$ 与 $R_n$ 的结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一维科恩-麦克aul伊局部环 $R$，范畴 $\Omega\mathrm{CM}(R)$ 何时为有限类型？
• RQ2 $\Omega\mathrm{CM}(R)$ 的结构如何与自同态环 $E = \operatorname{End}_R(\mathfrak{m})$ 相关联？
• RQ3 如何通过科恩-麦克aul伊 $R$-模的挠模刻画几乎广中环？
• RQ4 对于哪些环 $R$，有 $\mathrm{CM}(E) = \Omega\mathrm{CM}'(R)$ 成立？
• RQ5 稳定范畴 $\underline{\mathrm{CM}}(R)$ 的维数能否取任意给定的正整数 $n$？

主要发现

• 自同态环 $E = \operatorname{End}_R(\mathfrak{m})$ 是一个一维科恩-麦克aul伊半局部环，且包含于 $R$ 的整闭包中。
• 存在如下包含链：$\mathrm{\Omega CM}(E) \subseteq \mathrm{\Omega CM}'(R) \subseteq \mathrm{CM}(E) \subseteq \mathrm{CM}'(R)$，作为 $\mathrm{mod}(R)$ 的子范畴。
• 若 $R$ 的剩余域为无限域，则 $\mathrm{\Omega CM}(E) = \mathrm{\Omega CM}'(R)$ 当且仅当 $R$ 具有最小乘法性。
• 若 $R$ 的完备化 $\widehat{R}$ 为一般广中环，则 $\mathrm{CM}(E) = \mathrm{\Omega CM}'(R)$ 当且仅当 $R$ 为几乎广中环。
• 对任意正整数 $n > 0$，存在一个完全交环 $R = k[[H]]$，其中 $H = \langle 2^{n+1}, \{2^{n+1} + 2^i\}_{i=1}^n, 2^{n+1} + 3 \rangle$，使得 $\dim\underline{\mathrm{CM}}(R) = n$。
• 若 $R$ 为几乎广中环，则 $\Omega\mathrm{CM}(R)$ 为有限类型当且仅当 $\mathrm{CM}(E)$ 为有限类型。