[论文解读] Syzygies of secant ideals of Plücker-embedded Grassmannians are generated in bounded degree

Robert P. Laudone|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2018

Tensor decomposition and applications参考文献 18被引用 6

一句话总结

该论文证明了在特征零下，对于任意固定的 $ r \geq 0 $，Pl\

ABSTRACT

Over a field of characteristic $0$, we prove that for each $r \geq 0$ there exists a constant $C(r)$ so that the prime ideal of the $r$th secant variety of any Plücker-embedded Grassmannian ${\bf Gr}(d,n)$ is generated by polynomials of degree at most $C(r)$, where $C(r)$ is independent of $d$ and $n$. This bounded generation ultimately reduces to proving a poset is noetherian, we develop a new method to do this. We then translate the structure we develop to the language of functor categories to prove the $i$th syzygy module of the coordinate ring of the $r$th secant variety of any Plücker-embedded Grassmannian ${\bf Gr}(d,n)$ is concentrated in degrees bounded by a constant $C(i,r)$, which is again independent of $d$ and $n$.

研究动机与目标

• 解决[DE]中提出的关于Pl\
• method

提出的方法

• 构造一个霍普夫环 $ \mathcal{P}_{\Sigma} = \bigoplus_{n,d} \operatorname{Sym}^n(\bigwedge^d \mathbf{k}^{(r+2)d}) $，以同时编码所有切触理想。
• 在 $ \mathcal{P}_{\Sigma} $ 上定义两种乘积：一种是跨对称幂的外部乘积，另一种是通过外幂内的对称化得到的内部乘积。
• 证明在两种乘积下封闭的理想是有限生成的，方法是证明无限反链的单项式不可能同时使 $ n $ 和 $ d $ 无界。
• 将该结构转化为关于 $ \mathscr{G}_M $ 的函子范畴，将 $ \operatorname{Sec}_{d,r}(M) $ 视为 $ \operatorname{Sym}(\bigwedge^d \mathbf{k}^{Md}) $ 上的模。
• 在函子范畴中使用投射化解来界定Tor模的次数，利用 $ \mathcal{S}_M(r) $ 的有限生成性。
• 证明当 $ M \geq r+1+i $ 时，$ C_M(i,r) $ 的界限独立于 $ M $，从而得到统一的界限 $ C(i,r) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征零下，Pl\
• RQ2 key_findings

主要发现

• 对于每个 $ r \geq 0 $，存在一个常数 $ C(r) $，其独立于 $ d $ 和 $ n $，使得 $ \mathbf{Gr}(d,n) $ 的第 $ r $ 个切触簇的素理想由次数不超过 $ C(r) $ 的多项式生成。
• 第 $ r $ 个切触簇的坐标环的第 $ i $ 个挠模位于次数不超过 $ C(i,r) $ 的范围内，其中 $ C(i,r) $ 独立于 $ d $ 和 $ n $。
• 在 $ \operatorname{Sym}(\bigwedge^d \mathbf{k}^{Md}) $ 上，第 $ i $ 个Tor模的次数界限 $ C_M(i,r) $ 在 $ M \geq r+1+i $ 时独立于 $ M $，从而得到统一的界限 $ C(i,r) $。
• 该证明表明，$ \mathbf{Gr}(d,n) $ 的第 $ r $ 个切触理想的生成元由有限多个次数 $ \leq C(r) $ 的多项式组成，并且在操作 $ \ast_g $ 和 $ \cdot $ 下封闭，如推论1.2所述。
• 霍普夫环 $ \mathcal{P}_{\Sigma} $ 的构造及其在两种乘积下的诺特性，通过函子范畴技术实现了统一有界性的结果。
• 该结果证实了[DE]中集合论有界次数结果的理想理论版本，解决了理想理论设定下的一个开放问题。