[论文解读] Szego\H o-Widom asymptotics of Chebyshev Polynomials on Circular Arcs

Benjamin Eichinger|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文建立了切比雪夫多项式及在圆弧 $A_\alpha$ 上一致有界的多项式上包络的 Szegő-Widom 渐近性，通过复 Green 函数与共形映射 $\lambda(u) = \left(\frac{ue^{i\alpha}-1}{u-e^{i\alpha}}\right)^{1/4}$ 显式导出点态极限。关键结果表明，归一化的上包络收敛于上半平面上再生核的对角线，将逼近论与希尔伯特空间结构联系起来。

ABSTRACT

Thiran and Detaille give an explicit formula for the asymptotics of the sup-norm of the Chebyshev polynomials on a circular arc. We give the so-called $ extrm{Szeg\H o}$-Widom asymptotics for this domain, i.e., explicit expressions for the asymptotics of the corresponding extremal polynomials. Moreover, we solve a similar problem with respect to the upper envelope of a family of polynomials uniformly bounded on this arc. That is, we give explicit formulas for the asymptotics of the error of approximation as well as of the extremal functions. Our computations show that in the proper normalization the limit of the upper envelope represents the diagonal of a reproducing kernel of a certain Hilbert space of analytic functions. Due to Garabedian the analytic capacity in an arbitrary domain is the diagonal of the corresponding $ extrm{Szeg\H o}$ kernel. We don't know any result of this kind with respect to upper envelopes of polynomials. If this is a general fact or a specific property of the given domain, we rise as an open question.

研究动机与目标

• 将 Szegő-Widom 渐近性推广至非区间紧集——圆弧，经典结果在此不适用。
• 为在 $A_\alpha$ 上使首项系数或某点取值最大的极值多项式推导显式渐近公式。
• 刻画在 $A_\alpha$ 上有界于 1 的多项式上包络 $L_n(u)$ 的渐近行为。
• 探讨上包络的极限是否对应于希尔伯特空间中再生核的对角线，推广 Garabedian 的解析容量结果。

提出的方法

• 使用复 Green 函数 $b_{\Omega_\alpha}(z,\infty)$ 对极值多项式进行归一化并分析其极限。
• 通过共形映射 $\lambda(u) = \left(\frac{ue^{i\alpha}-1}{u-e^{i\alpha}}\right)^{1/4}$ 将 $\Omega_\alpha$ 映射至扇形 $\Pi$。
• 推导 $b_{\Omega_\alpha}(u,\infty)^n P_{n,u_0}(u)$ 在 $n \to \infty$ 时的极限函数，其表达式以 $h(\lambda,\lambda_0)$ 和 $\lambda$ 的有理函数表示。
• 将上包络 $L_n(u)$ 识别为 $e^{n g_{\Omega_\alpha}(u,\infty)} k_{\Omega_\alpha}(u,u)$，其中 $k_{\Omega_\alpha}$ 是 $\Pi$ 上的再生核。
• 利用解析函数的性质与最大值原理，证明 $L_n(u)$ 和 $L(u)$ 的对数次调和性。
• 将结果推广至在 $\mathbb{D}$ 外具有固定极点的有理函数，使用 Green 函数的乘积 $B(u)^n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在圆弧上有界的多项式上包络是否收敛于希尔伯特空间中解析函数再生核的对角线？
• RQ2 Szegő-Widom 渐近性能否显式计算于非区间紧集（如圆弧）？
• RQ3 对于给定点 $u_0 \in \Omega_\alpha$ 的极值多项式，其渐近行为如何？其极限形式为何？
• RQ4 归一化后上包络的极限是否在不同函数类（如具有固定极点的有理函数）中具有普遍性？

主要发现

• 当 $n \to \infty$ 时，$b_{\Omega_\alpha}(u,\infty)^n P_{n,u_0}(u)$ 的极限显式给出为包含 $\lambda(u)$、$\lambda_0$ 和 $h(\lambda,\lambda_0)$ 的有理函数。
• 上包络 $L_n(u)$ 满足 $L_n(u) \sim e^{n g_{\Omega_\alpha}(u,\infty)} k_{\Omega_\alpha}(u,u)$，其中 $k_{\Omega_\alpha}(u,u_0) = \frac{2\lambda\overline{\lambda}_0}{(\lambda + \overline{\lambda}_0)^2}$。
• 在 $u_0$ 处的极限函数满足 $L(u_0) = k_{\mathbb{H}_+}(\lambda_0, \lambda_0)$，证实了再生核对角线性质。
• 上包络 $L_n(u)$ 在 $\Omega_\alpha$ 上是对数次调和的，其对数次调和性由最大值原理与 Green 函数的收敛性保证。
• 结果可推广至在 $\mathbb{D}$ 外具有固定极点 $C = \{c_1, \dots, c_g\}$ 的有理函数，极限涉及 $B(u)^n = \prod_k b_{\Omega_\alpha}(u,c_k)^n$。
• 有理函数的归一化上包络极限满足 $M_n(u) \sim e^{n \sum_k g_{\Omega_\alpha}(u,c_k)} k_{\Omega_\alpha}(u,u)$，暗示存在普遍结构。