[论文解读] T-duality, Gerbes and Loop Spaces

Dmitriy Belov, C.M. Hull+1 more|ArXiv.org|Oct 26, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用 25

一句话总结

本文通過纖化與迴圈空間幾何重新詮釋弦理論中的T對偶性，顯示當環面等距變換為哈密頓向量場時，T對偶性才會被幾何實現。本文在雙重環面纖化之迴圈空間的余切叢上構造了一個辛結構，揭示T對偶性僅在環面作用為哈密頓時才作為對稱性出現，且其障礙與非哈密頓對稱性相關。

ABSTRACT

We revisit sigma models on target spaces given by a principal torus fibration $X o M$, and show how treating the 2-form B as a gerbe connection captures the gauging obstructions and the global constraints on the T-duality. We show that a gerbe connection on X, which is invariant with respect to the torus action, yields an affine double torus fibration Y over the base space M - the generalization of the correspondence space. We construct a symplectic form on the cotangent bundle to the loop space LY and study the relation of its symmetries to T-duality. We find that geometric T-duality is possible if and only if the torus symmetry is generated by Hamiltonian vector fields. Put differently, the obstruction to T-duality is the non-Hamiltonian action of the symmetry group.

研究动机与目标

• 釐清帶B場通量的σ模型中T對偶性的全局障礙。
• 以主環面纖化上的纖化連接重新表述T對偶性。
• 證明僅當環面對稱由哈密頓向量場生成時，幾何T對偶性才可能實現。
• 在T對偶對應空間之迴圈空間的余切叢上構造一辛形式。
• 識別柯朗括號與電流代數約化在T對偶機制中的角色。

提出的方法

• 將B場視為纖化上的連接，以實現通量與障礙的全局描述。
• 構造一對應空間Y為基空間M上的仿射雙重環面纖化，推廣標準T對偶設定。
• 利用從目標空間拉回的辛形式，在迴圈空間LY的余切叢上定義一辛結構。
• 透過扭轉電流代數的約化，推導出基空間M上的有效柯朗括號。
• 應用柯朗括號形式化，將T對偶變換與迴圈空間幾何及哈密頓條件聯繫起來。
• 透過非哈密頓環面作用所對應的障礙類非零，分析T對偶的障礙。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非平凡B場通量的σ模型中，T對偶性的全局障礙為何？
• RQ2 主環面纖化上的纖化連接如何完整捕捉T對偶性（包括通量與扭量資料）的結構？
• RQ3 在何種條件下，幾何T對偶性會作為σ模型迴圈空間對稱性被實現？
• RQ4 基空間上的柯朗括號結構如何與T對偶變換相關？
• RQ5 環面作用的哈密頓性在使T對偶性成為對稱性的過程中扮演何種角色？

主要发现

• T對偶性僅在環面等距變換由哈密頓向量場生成時才會幾何實現，非哈密頓作用會引入障礙。
• 對應空間Y被構造為M上的仿射雙重環面纖化，T對偶幾何由迴圈空間的辛結構所編碼。
• 在迴圈空間LY的余切叢上定義了一辛形式，其對稱性對應於T對偶變換。
• 扭轉電流代數的約化產生了基空間M上的柯朗括號，其扭轉形式H3未必閉合，反映出全局通量結構。
• 基於O(n,n,Z)的柯朗括號對稱性因非平凡的B0與H0通量而顯式破缺，這些通量與環面的李代數結構相耦合。
• T對偶的障礙由向量場KI非哈密頓性所捕捉，其條件見於式(1.2)及其在式(1.3)中的推廣。