[论文解读] 't Hooft expansion of multi-boundary correlators in 2D topological gravity

Kazumi Okuyama, Kazuhiro Sakai|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用 9

一句话总结

本论文提出了一种系统方法，利用Korteweg–De Vries（KdV）方程计算二维拓扑重力中多边界关联函数的't Hooft展开。该方法提出了一种类似于矩阵模型中开自由能计算的算法来处理单边界关联函数，并表明高点关联函数可通过代数重构从低点函数获得。该方法重现了Jackiw–Teitelboim重力中的已知结果，并在Airy情形下精确计算了三边界关联函数的't Hooft展开，通过显式计算验证了其一致性。

ABSTRACT

We study multi-boundary correlators of Witten-Kontsevich topological gravity in two dimensions. We present a method of computing an open string like expansion, which we call the 't Hooft expansion, of the $n$-boundary correlator for any $n$ up to any order by directly solving the Korteweg-De Vries equation. We first explain how to compute the 't Hooft expansion of the one-boundary correlator. The algorithm is very similar to that for the genus expansion of the open free energy. We next show that the 't Hooft expansion of correlators with more than one boundary can be computed algebraically from the correlators with a lower number of boundaries. We explicitly compute the 't Hooft expansion of the $n$-boundary correlators for $n=1,2,3$. Our results reproduce previously obtained results for Jackiw-Teitelboim gravity and also the 't Hooft expansion of the exact result of the three-boundary correlator which we calculate independently in the Airy case.

研究动机与目标

• 开发一种系统方法，用于计算具有通用耦合参数tk的二维拓扑重力中n重边界关联函数的't Hooft展开。
• 将基因图展开形式化推广至类似开弦的't Hooft展开，适用于大N极限和本征值瞬子效应。
• 证明n点函数（n ≥ 2）的't Hooft展开可通过主微分方程代数地从低阶函数推导得出。
• 通过重现Jackiw–Teitelboim重力中的已知结果，并计算Airy情形下三边界关联函数的精确't Hooft展开，验证该方法。

提出的方法

• 该方法以Korteweg–De Vries（KdV）方程作为控制关联函数生成函数的核心动力学方程。
• 对于单边界关联函数，'t Hooft展开通过类似于矩阵模型中开自由能计算的算法进行计算。
• n点函数的't Hooft展开由主微分方程（公式5.15）推导得出，该方程将KdV方程推广至多边界系统。
• 该方法采用边界态创建算子B(β) = gs√(β/2π) ∑d β^d ∂/∂td，将基因图展开映射至't Hooft极限。
• 通过主方程的结构，利用代数重构方法递归计算高阶点关联函数。
• Airy情形用作一致性检验，其中精确计算了三边界关联函数，并验证其't Hooft展开与形式化预测一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地计算任意n和展开参数任意阶次下，二维拓扑重力中多边界关联函数的't Hooft展开？
• RQ2 n点函数't Hooft展开与低阶函数之间的代数结构是什么？
• RQ3 Witten–Kontsevich模型中的't Hooft展开如何与JT重力中谱形式因子的斜坡-平台过渡相关联？
• RQ4 该形式化能否重现Jackiw–Teitelboim重力和Airy情形中的已知结果？
• RQ5 KdV方程及其推广在编码多边界关联函数't Hooft展开中起什么作用？

主要发现

• 单边界关联函数的't Hooft展开通过类比开自由能计算的算法进行计算，其主导项与Baker–Akhiezer函数相关。
• 二点及更高点函数的't Hooft展开通过主微分方程（公式5.15）代数地从低阶函数确定，该方程是KdV方程的推广。
• 该方法重现了Jackiw–Teitelboim重力中先前已知的结果，证实与早期工作的自洽性。
• 在Airy情形下，三边界关联函数的精确结果被计算，并证明其't Hooft展开与形式化预测在K(3)_3阶内一致。
• 主导阶't Hooft展开与通过Baker–Akhiezer函数的拉普拉斯变换定义的开自由能密切相关。
• 该形式化为研究't Hooft极限下多点谱形式因子的斜坡-平台过渡区和淬火自由能提供了一致的框架。