[论文解读] Tableaux on k+1-cores, reduced words for affine permutations, and k-Schur expansions

Luc Lapointe, Jennifer Morse|ArXiv.org|Feb 19, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用 16

一句话总结

本文通过 $k$-有界分拆与 $k+1$-核心之间的双射，建立了 $k$-Young 格与仿射对称群 $\tilde{S}_{k+1}$ 的极大抛物子群商上的弱序之间的组合同构。引入了在 $k+1$-核心上的 $k$-表，为 $k$-Kostka 系数提供了组合解释，提示这些表或仿射置换的约化字上的 $q,t$-统计量可能描述广义的 $q,t$-Kostka 多项式。

ABSTRACT

The $k$-Young lattice $Y^k$ is a partial order on partitions with no part larger than $k$. This weak subposet of the Young lattice originated from the study of the $k$-Schur functions(atoms) $s_λ^{(k)}$, symmetric functions that form a natural basis of the space spanned by homogeneous functions indexed by $k$-bounded partitions. The chains in the $k$-Young lattice are induced by a Pieri-type rule experimentally satisfied by the $k$-Schur functions. Here, using a natural bijection between $k$-bounded partitions and $k+1$-cores, we establish an algorithm for identifying chains in the $k$-Young lattice with certain tableaux on $k+1$ cores. This algorithm reveals that the $k$-Young lattice is isomorphic to the weak order on the quotient of the affine symmetric group $ ilde S_{k+1}$ by a maximal parabolic subgroup. From this, the conjectured $k$-Pieri rule implies that the $k$-Kostka matrix connecting the homogeneous basis $\{h_\la\}_{\la\in\CY^k}$ to $\{s_\la^{(k)}\}_{\la\in\CY^k}$ may now be obtained by counting appropriate classes of tableaux on $k+1$-cores. This suggests that the conjecturally positive $k$-Schur expansion coefficients for Macdonald polynomials (reducing to $q,t$-Kostka polynomials for large $k$) could be described by a $q,t$-statistic on these tableaux, or equivalently on reduced words for affine permutations.

研究动机与目标

• 通过 $k+1$-核心与表，建立 $k$-Young 格的组合模型。
• 将 $k$-Schur 函数的 $k$-Pieri 法则与仿射对称群 $\tilde{S}_{k+1}$ 中的约化字联系起来。
• 将 $k$-Kostka 矩阵组合解释为在 $k+1$-核心上形状为 $\mathfrak{c}(\mu)$ 且评估为 $\lambda$ 的 $k$-表的计数。
• 提出一种在 $k$-表或仿射置换的约化字上的 $q,t$-统计量，以实现广义 $q,t$-Kostka 多项式的非负性。

提出的方法

• 通过钩长定义 $k+1$-核心与 $k$-有界分拆之间的双射 $\mathfrak{p}$。
• 引入 $k$-表作为在 $k+1$-核心上的新一类表，类似于半标准表。
• 使用保持 $k+1$-核心的算子来模拟 $k$-Young 格中的覆盖关系。
• 通过 $\mathfrak{p}$-双射，建立 $k$-Young 格与 $\tilde{S}_{k+1}/S_{k+1}$ 上弱序之间的同构。
• 利用 $\mathfrak{p}$-映射，将 $k$-共轭定义为 $k+1$-核心上核心共轭的 $\mathfrak{p}$-像。
• 利用猜想的 $k$-Pieri 法则，将 $k$-Kostka 系数解释为给定形状 $\mathfrak{c}(\mu)$ 与评估 $\lambda$ 的 $k$-表的计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 $k$-Young 格是否同构于 $\tilde{S}_{k+1}/S_{k+1}$ 上的弱序？
• RQ2 $k$-Kostka 系数 $K_{\mu\lambda}^{(k)}$ 是否可组合解释为形状为 $\mathfrak{c}(\mu)$ 且评估为 $\lambda$ 的 $k$-表的数量？
• RQ3 是否存在一种在 $k$-表或仿射置换的约化字上的 $q,t$-统计量，可实现广义 $q,t$-Kostka 多项式？
• RQ4 猜想的 $k$-Pieri 法则是否意味着 $k$-表的数量与评估顺序 $\alpha$ 无关？

主要发现

• 通过 $k$-有界分拆与 $k+1$-核心之间的双射，$k$-Young 格同构于 $\tilde{S}_{k+1}/S_{k+1}$ 上的弱序。
• 在假设 $k$-Pieri 法则成立的前提下，形状为 $\mathfrak{c}(\mu)$ 且评估为 $\lambda$ 的 $k$-表的数量等于 $k$-Kostka 系数 $K_{\mu\lambda}^{(k)}$。
• $k$-共轭映射 $\lambda \mapsto \lambda^{\omega_k}$ 被实现为 $k+1$-核心上核心共轭的 $\mathfrak{p}$-像。
• 形状为 $\mathfrak{c}(\mu)$ 的标准 $k$-表的数量等于仿射置换 $\sigma_\mu \in \tilde{S}_{k+1}/S_{k+1}$ 的约化字数量。
• 猜想的 $k$-Pieri 法则意味着 $\mathcal{T}_\alpha^k(\mu)$ 中 $k$-表的数量与评估顺序 $\alpha$ 无关，暗示存在广义的 Bender-Knuth 对合。
• $k$-Schur 函数与齐次基之间是单位三角关系，确认了 $K_{\lambda\lambda}^{(k)} = 1$ 且当 $\mu \not\trianglerighteq \lambda$ 时 $K_{\lambda\mu}^{(k)} = 0$。