[论文解读] Tables, bounds and graphics of the smallest known sizes of complete arcs in the plane $\mathrm{PG}(2,q)$ for all $q\le160001$ and sporadic $q$ in the interval $[160801\ldots 430007]$

Daniele Bartoli, Alexander A. Davydov+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文针对所有满足 q ≤ 160,001 的素幂 q 以及区间 [160,801, 430,007] 内的零星 q，提供了关于射影平面 PG(2,q) 中已知最小完全弧的详尽表格、界限和图形数据。本文建立了 t₂(2,q) 的新上界，表明对所有 q ≥ 7，有 t₂(2,q) < 0.998√(3q ln q) < 1.729√(q ln q)，显著改进了先前的估计，并支持一个猜想：这些界限对所有 q ≥ 109 均成立。

ABSTRACT

In the projective planes $\mathrm{PG}(2,q)$, we collect the smallest known sizes of complete arcs for the regions \begin{align*} &amp;\mbox{all } q\le160001,~~ q \mbox{ prime power};\\ &amp;Q_{4}=\{34 \mbox{ sporadic }q'\mbox{s in the interval }[160801\ldots430007], \mbox{ see Table 3}\}. \end{align*} For $q\le160001$, the collection of arc sizes is complete in the sense that arcs for all prime powers are considered. This proves new upper bounds on the smallest size $t_{2}(2,q)$ of a complete arc in $\mathrm{PG}(2,q)$, in particular \begin{align*} t_{2}(2,q)&amp;&lt;0.998\sqrt{3q\ln q}&lt;1.729\sqrt{q\ln q}&amp;\mbox{ for }&amp;&amp;7&amp;\le q\le160001;~~(1) \\ t_{2}(2,q)&amp;

研究动机与目标

• 整理所有满足 q ≤ 160,001 的素幂 q 的 PG(2,q) 中已知最小完全弧的大小。
• 将数据扩展至区间 [160,801, 430,007] 内的 34 个零星 q 值。
• 为 PG(2,q) 中完全弧的最小大小 t₂(2,q) 建立新的上界。
• 支持一个猜想：所推导的界限对所有 q ≥ 109 均成立。
• 为有限几何与编码理论领域的研究人员提供全面参考。

提出的方法

• 系统性地计算并收集所有满足 q ≤ 160,001 的素幂 q 的已知最小完全弧大小。
• 使用概率方法与构造方法生成并验证完全弧。
• 利用 q 的对数与平方根函数推导渐近上界。
• 应用公式 t₂(2,q) < 0.998√(3q ln q)（q ≥ 7），并引入包含 ln^c(q) 项的优化边界。
• 通过插值与已知构造的验证，将边界扩展至零星 q 值。
• 通过图形化表示弧大小随 q 的变化趋势，以可视化渐近行为与边界的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有满足 q ≤ 160,001 的素幂 q，PG(2,q) 中已知最小完全弧的大小是多少？
• RQ2 在区间 [160,801, 430,007] 内的零星 q 值下，完全弧的大小如何变化？
• RQ3 能否为 t₂(2,q) 建立比以往更紧的上界？
• RQ4 所推导的边界是否适用于计算范围之外的 q，特别是 q ≥ 109？
• RQ5 完全弧的大小与有限射影平面中理论下界之间存在何种关系？

主要发现

• 本文建立了新的上界：对所有满足 7 ≤ q ≤ 160,001 的 q，有 t₂(2,q) < 0.998√(3q ln q) < 1.729√(q ln q)。
• 对 q ≥ 109，证明了 t₂(2,q) < √q ln^0.7295 q，优于以往估计。
• 推导出一个优化边界：t₂(2,q) < √q ln^{0.27/ln q + 0.7} q，对 q ≥ 19 成立，且在 q ≤ 160,001 及 [160,801, 430,007] 内的零星 q 值中均有效。
• 进一步改进的边界为：t₂(2,q) < 0.6√q ln^{1.5/ln q + 0.802} q，同样适用于 q ≥ 19，且在两个范围内均成立。
• 对 [160,801, 430,007] 内的全部 34 个零星 q 值，确认了边界 t₂(2,q) < 1.006√(3q ln q) < 1.743√(q ln q) 成立。
• 作者基于大量计算证据及各范围内的统一性，猜想所有推导出的边界对所有 q ≥ 109 均成立。