[论文解读] Tables of convolution integrals

A. B. Arbuzov|ArXiv.org|Apr 7, 2003

Mathematical functions and polynomials参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于计算微扰量子场论中出现的奇异函数与非奇异函数卷积积分的解析方法，特别是在重整化群应用中。通过使用 $Δ$-正则化和“正则化”方案，推导出涉及对数和多对数函数卷积的显式公式，结果以稀释对数函数、三对数函数和广义多对数函数表示，从而实现高能物理中精确的解析与数值计算。

ABSTRACT

An analytical approach to convolution of functions, which appear in perturbative calculations, is discussed. An extended list of integrals is presented.

研究动机与目标

• 开发一种直接的解析方法，用于计算微扰量子场论中常见的卷积积分。
• 提供一个系统化的卷积积分表格，涉及在 $x=1$ 或 $x=z$ 处有极点的奇异函数，并通过“正则化”方案进行正则化。
• 通过避免使用梅林变换技术，促进部分子演化和因子化定理等过程中的解析与数值计算。
• 建立一个一致的框架，使用 $Δ$-正则化，确保各贡献项之间的发散项相互抵消。
• 将结果表达为标准特殊函数（如多对数函数和广义多对数函数）的形式，以实现广泛适用性。

提出的方法

• 两个函数 $f(x)$ 和 $g(y)$ 的卷积定义为积分 $[f \otimes g](z) = \int_z^1 \frac{dx}{x} f(x) g(z/x)$，适用于 $0 \leq z \leq 1$。
• 在 $x=1$ 或 $x=z$ 处具有极点的奇异积分通过一个小参数 $\Delta \ll 1$ 进行正则化，其中 $Δ$-正则化方案将发散积分替换为有限表达式。
• 通过分解 $[f]_+ = \lim_{\Delta \to 0} \left[ \delta\text{-部分} + \Theta\text{-部分} \right]$ 实现“正则化”方案，其中 $\delta$-部分为在 $[0, 1-\Delta]$ 上的积分，$\Theta$-部分为函数在 $x < 1$ 上的限制。
• 两个奇异函数的卷积表示为三项之和：$[z/(1-\Delta), 1-\Delta]$ 上的有限积分，以及两项 $f_\Delta g_\Theta(z)$ 和 $f_\Theta(z) g_\Delta$，确保 $\Delta$-依赖性被抵消。
• 该方法依赖于已知的对数函数和有理函数的定积分结果，结果以多对数函数 $\mathrm{Li}_n(z)$ 和广义多对数函数 $\mathrm{S}_{m,n}(z)$ 表示。
• 利用 $z$ 和 $1-z$ 处多对数函数之间的关系，将结果表达为标准形式，以实现简化和数值计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在微扰量子场论中，如何系统地计算在 $x=1$ 或 $x=z$ 处具有极点的奇异函数的卷积积分？
• RQ2 是否存在一种有效的解析方法，用于计算卷积而不依赖于梅林变换，特别是针对具有对数和多对数奇点的函数？
• RQ3 如何对发散积分进行正则化，使得 $\Delta$-依赖性在各贡献项之间相互抵消，从而确保得到有限的物理结果？
• RQ4 对于函数如 $\ln^n(1-x)/(1-x)$、$\ln^k x / (x-z)$ 和 $\mathrm{Li}_2(1-x)/(x-z)$ 的卷积，其显式解析表达式是什么？
• RQ5 如何将结果表达为标准特殊函数（如 $\mathrm{Li}_n(z)$ 和 $\mathrm{S}_{m,n}(z)$）的形式，以在高能物理计算中实现实际应用？

主要发现

• 本文推导出奇异函数卷积的显式解析表达式，例如 $\int_{z/(1-\Delta)}^{1-\Delta} \frac{\ln^n(1-x)}{1-x} dx = \frac{1}{n+1} \left[ \ln^{n+1}(1-z) - \ln^{n+1}\Delta \right]$。
• 对于发散核 $1/(x-z)$，正则化积分结果为 $\int \frac{dx}{x-z} = -\ln\Delta + \ln(1-z) - \ln z$。
• 函数 $\ln x / (x-z)$ 的卷积结果为 $-\ln\Delta \ln z + \mathrm{Li}_2(1-z) + \ln(1-z)\ln z - \frac{1}{2}\ln^2 z$。
• 高阶对数核（如 $\ln^2 x / (x-z)$）产生包含 $\mathrm{S}_{1,2}(1-z)$、$\mathrm{Li}_2(1-z)\ln z$ 和 $\ln^3 z$ 项的结果。
• $\mathrm{Li}_2(1-x)/(x-z)$ 的卷积表达为 $\mathrm{Li}_2(1-z)(\ln(1-z) - \ln z - \ln\Delta) - \mathrm{S}_{1,2}(1-z) - \mathrm{Li}_3(1-z)$。
• 本文提供了 $z$ 和 $1-z$ 处多对数函数之间关系的完整集合，可将结果转换为标准形式，以供物理计算中进一步使用。