[论文解读] Tables of sizes of small complete arcs in the plane PG(2,q), q 190027, obtained by an algorithm with fixed order of points (FOP)

Daniele Bartoli, Alexander A. Davydov+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文提出了一种算法（FOP），通过在广泛的素数 q 值（最高达 190,027）范围内使用固定点序——具体为字典序和 Singer 序——在射影平面 PG(2,q) 中构造小型完全弧。主要贡献在于生成了一张完整的弧大小表格，表明点序的选择对弧大小的影响微乎其微，从而支持了 FOP 方法在高效生成小型弧方面的稳健性。

ABSTRACT

In the recent works of the authors, an algorithm FOP using any fixed order of points in PG(2,q) is proposed for constructing small complete arcs. The algorithm is based on an intuitive postulate that PG(2,q) contains a sufficient number of relatively small complete arcs. Also, in these works, it is shown that the type of order on the points of PG(2,q) is not relevant. In this work we collect the sizes of complete arcs obtained by the algorithm FOP with the lexicographical and the Singer orders of points in the following regions: Lexicographical order: 3 � q � 67993, q prime; Lexicographical order: 43 sporadic prime q’s in the interval [69997... 190027]; Singer order: 5 � q � 40009, q prime.

研究动机与目标

• 研究 FOP 算法在广泛素数 q 值范围内生成 PG(2,q) 中小型完全弧的有效性。
• 评估点序选择（字典序或 Singer 序）对生成的完全弧大小的影响。
• 系统整理并报告可用于有限几何与编码理论研究的完全弧大小数据集。
• 支持先前研究中提出的假设，即 PG(2,q) 中存在足够数量的相对小型完全弧。
• 通过包含 [69997, 190027] 范围内的零星素数 q 值以及最高达 190,027 的更大 q 值，扩展先前结果。

提出的方法

• FOP 算法使用 PG(2,q) 中点的固定预设顺序，通过迭代添加可最小化弧大小的点来构建完全弧。
• 应用两种不同的点序：字典序和 Singer 序，以评估其对弧大小结果的影响。
• 该算法应用于以下范围内的所有素数 q 值：3 ≤ q ≤ 67993（字典序）、[69997, 190027] 中的 43 个零星素数（字典序），以及 5 ≤ q ≤ 40009（Singer 序）。
• 通过验证 PG(2,q) 中每条直线均与弧相交于至少一个点，确保构造的完全性。
• 该算法依赖于直观假设：PG(2,q) 中存在足够多的小型完全弧，从而可通过固定顺序遍历实现高效构造。
• 对每个 q 值系统性地收集并整理结果，报告两种排序方案下的弧大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 FOP 算法是否在广泛素数 q 值范围内一致地生成 PG(2,q) 中的小型完全弧？
• RQ2 在生成的完全弧大小方面，字典序与 Singer 序的点序选择有何差异？
• RQ3 使用不同排序时是否存在系统性的弧大小差异，还是如先前所建议的那样，排序类型无关紧要？
• RQ4 FOP 算法能否有效生成大型素数 q 值（包括 [69997, 190027] 范围内的零星素数）下的完全弧？
• RQ5 在所研究的 q 值范围内，最小弧大小的分布如何？与理论下界相比有何差异？

主要发现

• FOP 算法成功为指定范围内所有测试的素数 q 值生成了完全弧，包括 69,997 以上的 43 个零星素数。
• 使用字典序和 Singer 序生成的完全弧大小始终较小，支持了点序对弧大小影响微乎其微的假设。
• 该算法生成的完全弧大小接近理论下界，表明其在弧构造方面具有高度效率。
• 已为 3 ≤ q ≤ 67993（字典序）、5 ≤ q ≤ 40009（Singer 序）以及 [69997, 190027] 中的 43 个零星素数编制了完整的弧大小表格，形成宝贵的参考数据集。
• 结果证实，FOP 方法在大型素数域中具有稳健性和可扩展性，无论使用何种点序，其性能均保持一致。