[论文解读] Tackling the Minimal Superpermutation Problem

Robin Houston|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2014

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 4被引用 6

一句话总结

该论文通过构造一个长度为872的6符号超排列，推翻了长期以来关于n个符号的最小超排列长度为∑ᵢ₌₁ⁿ i!的猜想，该长度比推测的873少1。作者将问题转化为非对称TSP并使用LKH启发式优化，将问题编码为哈密顿路径搜索，证明了当n ≥ 6时存在更短的超排列。

ABSTRACT

A superpermutation on $n$ symbols is a string that contains each of the $n!$ permutations of the $n$ symbols as a contiguous substring. The shortest superpermutation on $n$ symbols was conjectured to have length $\sum_{i=1}^n i!$. The conjecture had been verified for $n \leq 5$. We disprove it by exhibiting an explicit counterexample for $n=6$. This counterexample was found by encoding the problem as an instance of the (asymmetric) Traveling Salesman Problem, and searching for a solution using a powerful heuristic solver.

研究动机与目标

• 研究n个符号的超排列的最小长度，特别是长期存在的猜想，即长度为∑ᵢ₌₁ⁿ i!。
• 确定当n ≥ 6时是否存在更短的超排列，从而挑战既定猜想。
• 开发并应用一种计算方法，利用组合优化发现最小超排列。
• 证明使用TSP求解器解决排列理论中复杂组合问题的可行性。

提出的方法

• 将问题编码为非对称旅行商问题（ATSP）实例，其中每个n个符号的排列为一个顶点，边权表示排列之间的重叠长度。
• 边权定义为最小的k，使得源排列的最后k个符号与目标排列的前k个符号完全匹配。
• 该ATSP实例中的最小权哈密顿路径对应于长度为n + 路径权重的最小超排列。
• 通过Jonker-Volgenant算法将ATSP实例转换为对称TSP，以在n=5时使用Concorde求解精确解。
• 对于n=6，直接在非对称实例上使用LKH启发式求解器搜索低权哈密顿回路，得到长度为872的超排列。
• 使用自定义脚本验证最终的超排列，通过将其拆分为组成排列并检查完整性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于n个符号的超排列，其猜想的最小长度∑ᵢ₌₁ⁿ i!是否对所有n都是最优的？
• RQ2 诸如TSP求解器等计算方法是否能有效应用于发现比递归回文构造方法更短的超排列？
• RQ3 n=6时的最小超排列长度是多少？它是否低于推测值873？
• RQ4 像LKH这样的启发式TSP求解器能否为这类大规模组合问题找到可证明最优或近似最优的解？

主要发现

• 作者为n=6构造了一个长度为872的超排列，严格短于推测的最小值873。
• 该反例推翻了长期以来关于n个符号的超排列最小长度为∑ᵢ₌₁ⁿ i!的猜想。
• LKH求解器在9,228次运行后首次找到有效的长度为872的超排列，每次运行耗时2–4秒（在2010年款MacBook Pro上）。
• 该解通过将超排列问题编码为非对称TSP，并使用启发式求解器找到权重为866的哈密顿路径而获得。
• 结果表明，对于所有n > 6，均可基于n=6的解递归构造出更短的超排列。
• 作者确认，n=5的情况已通过Concorde精确验证，该求解器在1,929.02秒内解决了对称TSP实例。