[论文解读] Tail Asymptotic of Sum and Product of Random Variables with Applications in the Theory of Extremes of Conditionally Gaussian Processes

Andrey Sarantsev|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文使用拉普拉斯法研究渐近积分，推导出具有已知极值尾部行为（如幂律或指数尾部）的两个独立随机变量之和与乘积的尾部渐近性质。将这些结果应用于条件高斯过程的极端首出概率计算，表明用随机变量替代常数漂移会以可量化的方式改变尾部分布行为。

ABSTRACT

We consider two independent random variables with the given tail asymptotic (e.g. power or exponential). We find tail asymptotic for their sum and product. This is done by some cumbersome but purely technical computations and requires the use of the Laplace method for asymptotic of integrals. We also recall the results for asymptotic of a self-similar locally stationary centered Gaussian process plus a deterministic drift; and we find the asymptotic for the same probability after multiplying the drift by a random variable, which is independent of this process. Keywords: tail asymptotic, Laplace method, self-similar processes, Gaussian processes, locally stationary processes.

研究动机与目标

• 确定具有指定重尾或 Weibull 型尾部的两个独立随机变量之和与乘积的尾部分布渐近行为。
• 通过在自相似、局部平稳高斯过程的上确界泛函中引入随机漂移，扩展经典极值理论。
• 分析将常数漂移项替换为随机变量对条件高斯过程上确界尾部概率的影响。
• 利用积分渐近分析与拉普拉斯法，为这类过程在水平 $ u \to \infty $ 时的生存概率建立严格的渐近近似。
• 为具有随机或时变漂移的非平稳高斯过程中的极端事件建模提供理论基础。

提出的方法

• 使用拉普拉斯法分析形如 $ \int_a^b f(x) e^{\lambda S(x)} dx $ 的积分在 $ \lambda \to \infty $ 时的渐近行为，这是推导尾部分布渐近性质的核心。
• 应用分部积分法与 Stieltjes 积分表示，将生存概率 $ \mathbf{P}(X+Y > u) $ 分解为可处理的组成部分。
• 利用一致渐近等价性（通过引理 11）在期望计算中用更简单、渐近等价的表达式替代复杂的生存函数。
• 通过平移不变性将一般情形 $ \operatorname{ess}\sup Y = \sigma \in \mathbb{R} $ 简化为 $ \sigma = 0 $ 的情形，从而简化分析。
• 使用沃森引理与变量替换，近似涉及 $ h_X(u - y) $ 的积分，其中 $ h_X $ 是 $ X $ 的尾部函数，在边界点附近进行处理。
• 对积分 $ \int_{-\delta}^0 \overline{F}_Y(y) dh_X(u - y) $ 应用拉普拉斯法，识别出 $ X+Y $ 尾部的主要贡献来源。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ X $ 具有 Weibull 型尾部且 $ Y $ 在其本质上确界附近具有幂律尾部（有界支撑）时，$ X+Y $ 的尾部分布渐近行为如何？
• RQ2 两个独立随机变量 $ X $ 与 $ Y $ 的乘积 $ XY $ 的渐近行为如何，特别是当其中一个具有重尾、另一个具有有界支撑时？
• RQ3 当常数漂移 $ c $ 被独立随机变量 $ \eta $ 替代时，尾部概率 $ \mathbf{P}\left(\sup_{t \geq 0} (X(t) - c t^\beta) > u \right) $ 在 $ u \to \infty $ 时的行为如何变化？
• RQ4 当 $ \zeta $ 为独立随机变量时，$ \mathbf{P}\left(\sup_{t \geq 0} (X(t) - c t^\beta - \zeta) > u \right) $ 的渐近行为如何？
• RQ5 拉普拉斯法能否系统性地应用于推导具有随机漂移的条件高斯过程上确界泛函的精确渐近性质？

主要发现

• 对于独立的 $ X $ 与 $ Y $，满足 $ \overline{F}_X(u) \sim C_X u^\gamma \exp(-K_X u^\alpha) $ 且 $ \overline{F}_Y(u) \sim C_Y (\sigma - u)^\mu $，当 $ u \uparrow \sigma $ 且 $ \alpha > 1 $ 时，$ X+Y $ 的尾部分布满足 $ \overline{F}_{X+Y}(u) \sim C_{X+Y} u^{\mu + \gamma - \alpha \mu} \exp(-K_X (u - \sigma)^\alpha) $，其中 $ C_{X+Y} = C_X C_Y (K_X \alpha)^{-\mu} \Gamma(\mu + 1) $。
• $ X+Y $ 的尾部主要由 $ Y $ 在其本质上确界 $ \sigma $ 附近的贡献主导，渐近行为由 $ X $ 的指数衰减与 $ Y $ 在上界附近的多项式增长之间的相互作用决定。
• 当常数漂移 $ c $ 被独立随机变量 $ \eta $ 替代时，上确界概率的渐近行为变为 $ \mathbf{P}\left(\sup_t (X(t) - \eta t^\beta) > u \right) \sim C \cdot u^{\mu + \gamma - \alpha \mu} \exp(-K_X u^\alpha) $，其指数结构与和的情形相同。
• 在泛函 $ \sup_t (X(t) - c t^\beta - \zeta) $ 中引入独立随机偏移 $ \zeta $，会导致尾部分布渐近行为依赖于 $ \zeta $ 的尾部，且其函数形式与和的情形一致。
• 即使漂移非恒定，拉普拉斯法仍能成功捕捉自相似、局部平稳高斯过程上确界生存概率的主导渐近行为。
• 如引理 9 所示，结果对尾部函数的小扰动具有鲁棒性，即在生存函数的参数上进行有界平移时，尾部分布渐近性质保持不变。