[论文解读] Tailoring Three-Dimensional Topological Codes for Biased Noise

Eric J. Huang, Arthur Pesah+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 81被引用 5

一句话总结

本文提出了一类 Clifford 变形的三维拓扑码——包括三维表面码、颜色码以及分形子模型——在无限偏置退相干噪声下实现了 50% 的阈值错误率。通过利用几何对称性与两步最小权重完美匹配解码器，这些码在有限偏置下仍能实现高逻辑保护与指数亚阈值标度，且包含一种旋转的三维表面码布局，可在保持性能的同时减少量子比特开销。

ABSTRACT

Tailored topological stabilizer codes in two dimensions have been shown to exhibit high storage threshold error rates and improved subthreshold performance under biased Pauli noise. Three-dimensional (3D) topological codes can allow for several advantages including a transversal implementation of non-Clifford logical gates, single-shot decoding strategies, parallelized decoding in the case of fracton codes as well as construction of fractal lattice codes. Motivated by this, we tailor 3D topological codes for enhanced storage performance under biased Pauli noise. We present Clifford deformations of various 3D topological codes, such that they exhibit a threshold error rate of $50\%$ under infinitely biased Pauli noise. Our examples include the 3D surface code on the cubic lattice, the 3D surface code on a checkerboard lattice that lends itself to a subsystem code with a single-shot decoder, the 3D color code, as well as fracton models such as the X-cube model, the Sierpinski model and the Haah code. We use the belief propagation with ordered statistics decoder (BP-OSD) to study threshold error rates at finite bias. We also present a rotated layout for the 3D surface code, which uses roughly half the number of physical qubits for the same code distance under appropriate boundary conditions. Imposing coprime periodic dimensions on this rotated layout leads to logical operators of weight $O(n)$ at infinite bias and a corresponding $\exp[-O(n)]$ subthreshold scaling of the logical failure rate, where $n$ is the number of physical qubits in the code. Even though this scaling is unstable due to the existence of logical representations with $O(1)$ low-rate Pauli errors, the number of such representations scales only polynomially for the Clifford-deformed code, leading to an enhanced effective distance.

研究动机与目标

• 为在量子硬件中常见的现实噪声模型——偏置泡利噪声下，提升三维拓扑码的量子存储性能。
• 将已知具有高阈值与改进亚阈值标度的 Clifford 变形二维码的成功经验推广至三维。
• 开发与三维码兼容的解码策略，使其在无限退相干偏置下仍能保持高阈值。
• 构建一种旋转的三维表面码布局，以减少物理量子比特数量，同时保持逻辑保护并支持单次测量解码。

提出的方法

• 对三维稳定子码（包括立方晶格三维表面码、棋盘晶格三维表面码、三维颜色码，以及 X-cube 和 Haah 代码等分形子模型）应用 Clifford 变形。
• 设计具有线性对称性的码，使两步最小权重完美匹配（MWPM）解码器可应用于子流形，从而实现高效的奇偶校验解码。
• 使用带有有序统计解码的信念传播（BP-OSD）对有限偏置下的阈值错误率进行数值评估。
• 提出一种具有互质周期性边界条件的旋转三维表面码布局，以抑制逻辑算符权重并实现 exp[−O(n)] 的亚阈值标度。
• 利用 X 型逻辑算符的约束性质，将低权重逻辑错误表示的数量限制在多项式标度范围内。
• 通过 PanQEC 开源工具包进行数值模拟，实现三维可视化与纠错模拟，以验证性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地将 Clifford 变形应用于三维拓扑码，使其在无限退相干偏置下实现 50% 的阈值错误率？
• RQ2 三维码中的几何对称性如何支持两步 MWPM 解码策略，从而提升阈值性能？
• RQ3 在有限偏置下，Clifford 变形的三维码的亚阈值标度行为如何？与二维情况相比有何差异？
• RQ4 旋转的三维表面码布局是否能减少物理量子比特开销，同时保持高逻辑保护并支持单次测量解码？
• RQ5 在无限偏置下，随机 Clifford 变形对具有刚性逻辑算符的分形子码性能有何影响？

主要发现

• 所有 Clifford 变形的三维码，包括立方晶格与棋盘晶格上的三维表面码、三维颜色码，以及 X-cube 和 Haah 代码等分形子模型，在无限退相干偏置下均实现了 50% 的阈值错误率。
• 与标准布局相比，旋转的三维表面码布局在适当的边界条件下，可将物理量子比特数量减少约一半。
• 对于旋转的三维表面码，逻辑错误率在无限偏置下呈 exp[−O(n)] 标度，逻辑算符权重为 O(n)，即使存在 O(1) 的低速率泡利错误，该标度依然有效。
• 此类低速率逻辑错误表示的数量仅呈多项式标度，从而提升了有效距离并改善了性能。
• 使用 BP-OSD 的数值模拟表明，在有限偏置下，亚阈值标度会过渡为 exp{−O(L²)}（当偏置为大但有限值时），表明其在真实噪声下的鲁棒性。
• 该框架可推广至分形晶格码，因为 Clifford 变形可自然扩展至带孔洞的三维表面码，从而实现在分形几何上的单次测量解码。