[论文解读] Tails of optimal transport plans for regularly varying probability measures

Cees de Valk, Johan Segers|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文建立了 R^d 中重尾概率测度之间最优传输映射与耦合测度的存在性与稳定性，将 McCann 的理论扩展至 M₀(R^d) 中的无限测度。证明了经缩放的传输映射与耦合测度收敛于具有特定齐次性特征的极限，从而实现极值统计学中尾部正则性分析与高维多变量分位数估计的理论基础。

ABSTRACT

For the basic case of $L_2$ optimal transport between two probability measures on a Euclidean space, the regularity of the coupling measure and the transport map in the tail regions of these measures is studied. For this purpose, Robert McCann's classical existence and uniqueness results are extended to a class of possibly infinite measures, finite outside neighbourhoods of the origin. For convergent sequences of pairs of such measures, the stability of the multivalued transport maps is considered, and a useful notion of locally uniform convergence of these maps is verified under light assumptions. Applied to regularly varying probability measures, these general results imply the existence of tail limits of the transport plan and the coupling measure, these objects exhibiting distinct types of homogeneity.

研究动机与目标

• 研究在概率测度满足正规变异性条件下，最优传输计划的尾部行为。
• 将 McCann 在 L₂-最优传输中的存在性与唯一性结果推广至 M₀(R^d) 中的可能无限测度，即在原点邻域外为有限测度的测度空间。
• 在 M₀(R^d) 中建立多值传输映射在收敛下的稳定性，并在弱假设下实现局部一致收敛。
• 分析重尾测度下经缩放的最优耦合与传输映射的渐近行为，识别其极限齐次性特征。
• 为基于最优传输的多变量分位数与高维极值分析提供理论基础。

提出的方法

• 将经典的 L₂-最优传输理论扩展至在原点邻域外为有限测度的测度空间 M₀(R^d)，允许总质量为无限。
• 利用循环单调性与极大单调映射理论，证明 M₀(R^d) 中测度的最优传输映射的存在性与唯一性。
• 引入多值传输映射的局部一致收敛概念，并证明其在 M₀(R^d) 收敛下的稳定性。
• 应用集值映射的图形收敛理论，借助闭图像与外半连续性性质控制极限行为。
• 对与重尾测度相关的传输映射与耦合测度进行缩放，并利用紧致性与齐次性论证分析其收敛性。
• 利用经验测度收敛于其尾部强度测度（在 M₀(R^d) 中）的性质，建立正规变异性与最优传输极限之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 最优传输映射与耦合测度是否能继承其底层概率测度的正规变异性特征？
• RQ2 当输入测度为重尾测度时，经缩放的最优传输映射与耦合测度的极限行为是什么？
• RQ3 在极限测度为无限的情况下，如何在 M₀(R^d) 中建立多值传输映射的稳定性？
• RQ4 在尾部区域中，极限对象（传输映射与耦合测度）由何种类型的齐次性特征刻画？
• RQ5 在弱假设下，图形收敛能否被强化为局部一致收敛？

主要发现

• 在适当的缩放下，重尾概率测度之间的最优传输映射与耦合测度存在收敛子列。
• 极限耦合测度表现出与重尾测度尾部指数相关的特定类型齐次性。
• 极限传输映射展现出与耦合测度不同的齐次形式，反映了最优传输问题的内在结构。
• 在 M₀(R^d) 中建立了多值传输映射的稳定性，且在弱假设下实现局部一致收敛。
• 在仅依赖正规变异性之外增加弱额外假设，可保证缩放传输映射收敛于极限映射。
• 本研究将 McCann 的理论推广至 M₀(R^d) 中的无限测度，为极值统计学与多变量分位数分析中的最优传输提供了理论基础。