[论文解读] Tait colorings, and an instanton homology for webs and foams

P. B. Kronheimer, Tomasz Mrowka|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 8

一句话总结

该论文利用 $\mathrm{SO}(3)$ 规范理论，为 $\mathbb{R}^3$ 中的无方向三价图 $K$ 构造了一个 $Θ$-分次的瞬子同调 $J^\sharp(K)$，证明了当且仅当 $K$ 不含嵌入桥时，$J^\sharp(K) \neq 0$。关键结果支持通过规范理论不变量证明四色定理的程序，且有证据表明，对于平面图，$\dim J^\sharp(K)$ 等于其 Tait 染色数。

ABSTRACT

We use SO(3) gauge theory to define a functor from a category of unoriented webs and foams to the category of finite-dimensional vector spaces over the field of two elements. We prove a non-vanishing theorem for this SO(3) instanton homology of webs, using Gabai's sutured manifold theory. It is hoped that the non-vanishing theorem may support a program to provide a new proof of the four-color theorem.

研究动机与目标

• 使用 $\mathbb{F}_2$ 上的 $\mathrm{SO}(3)$ 规范理论，为无方向图与泡沫定义一个函子性瞬子同调 $J^\sharp$。
• 证明非零定理：当且仅当 $K$ 不含嵌入桥时，$J^\sharp(K) \neq 0$。
• 探索 $J^\sharp(K)$ 与 Tait 染色之间的联系，特别是针对平面图的情形。
• 提供一种通过猜想 $\dim J^\sharp(K)$ 等于平面图的 Tait 染色数，从而以规范理论不变量证明四色定理的潜在路径。

提出的方法

• 定义带点的无方向图与泡沫的范畴，并通过 $\mathbb{R}^3$ 上 $\mathrm{SO}(3)$ 平联络的 orbibundle 构造一个从该范畴到有限维 $\mathbb{F}_2$-向量空间的函子 $J^\sharp$。
• 使用全纯扰动确保横截性，并在模 2 下证明 $d^2 = 0$，从而保证同调的良定性。
• 应用 Gabai 的缝合流形理论，证明 $J^\sharp(K)$ 的非零定理。
• 在 cobordism（泡沫）下建立函子性，包括颈切割、二边形、三角形和正方形关系。
• 构造一个谱序列，从 $J^\sharp(K) \otimes \mathrm{Gr}$ 出发，收敛到 $I^\sharp(K)$，其中 $I^\sharp$ 是具有莫尔斯理论解释的关联瞬子同调。
• 通过 $\mathrm{SU}(3)$ 规范理论构造一个变体 $L^\sharp(K)$，使用整数系数，证明 $\dim L^\sharp(K;\mathbb{F})$ 对于 $\mathbb{R}^3$ 中的任意图 $K$ 等于 Tait 染色数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当且仅当图 $K \subset \mathbb{R}^3$ 包含一个嵌入桥时，$\mathrm{SO}(3)$ 瞬子同调 $J^\sharp(K)$ 是否为零？
• RQ2 对于平面图，$J^\sharp(K)$ 的维数是否等于 $K$ 的 Tait 染色数？
• RQ3 能否利用 $J^\sharp(K)$ 的非零结果，通过规范理论不变量证明四色定理？
• RQ4 $\mathrm{SO}(3)$ 瞬子同调 $J^\sharp(K)$ 与组合 $\mathfrak{sl}_3$ 同调及 Tait 染色之间有何关系？
• RQ5 $\mathrm{SU}(3)$ 规范理论在构造具有整数系数的关联不变量 $L^\sharp(K)$ 并使其维数与 Tait 染色数匹配中起什么作用？

主要发现

• 向量空间 $J^\sharp(K)$ 非零当且仅当图 $K \subset \mathbb{R}^3$ 不含嵌入桥，该结论通过缝合流形理论得到证明。
• 对于平面图，猜想 $\dim J^\sharp(K)$ 等于 Tait 染色数已在双分图以及不含正方形、三角形、二边形或圆的图上得到验证。
• 存在一个谱序列，其 $E_1$-项为 $J^\sharp(K) \otimes \mathrm{Gr}$，收敛到 $I^\sharp(K)$，其微分分量由表示簇中余维 1 子流形的交点计数定义。
• $\mathrm{SU}(3)$ 基的不变量 $L^\sharp(K;\mathbb{F})$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上的维数等于任意图 $K \subset \mathbb{R}^3$ 的 Tait 染色数，且该结论在有理系数下也成立。
• $\mathrm{SO}(3)$ 表示簇 $\mathcal{R}^\sharp$ 是 $\mathrm{SU}(3)$ 表示簇上复共轭的固定点集，从而将两种规范理论构造联系起来。
• 若结合 $J^\sharp(K)$ 的非零结果与 Tait 染色的猜想，则可推出每个无桥平面三价图均存在 Tait 染色，从而为四色定理提供一种新证明。