[论文解读] Taking limits in topological recursion

Gaëtan Borot, Vincent Bouchard+3 more|ArXiv.org|Sep 4, 2023

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 5

一句话总结

本文建立了拓扑递归与谱曲线族中极限交换的充分条件，尤其针对分支结构发生变化的情形。引入全局拓扑递归并证明在此条件下其解析性，通过提供极限在拓扑递归中处理的严格框架，解决了文献中长期存在的空白，其应用涵盖$(r,s)$-曲线与加权赫维茨数。

ABSTRACT

When does topological recursion applied to a family of spectral curves commute with taking limits? This problem is subtle, especially when the ramification structure of the spectral curve changes at the limit point. We provide sufficient (straightforward-to-use) conditions for checking when the commutation with limits holds, thereby closing a gap in the literature where this compatibility has been used several times without justification. This takes the form of a stronger result of analyticity of the topological recursion along suitable families. To tackle this question, we formalise the notion of global topological recursion and provide sufficient conditions for its equivalence with local topological recursion. The global version facilitates the study of analyticity and limits. For nondegenerate algebraic curves, we reformulate these conditions purely in terms of the structure of its underlying singularities. Finally, we apply this to study deformations of $ (r,s) $-spectral curves, spectral curves for weighted Hurwitz numbers, and provide several other examples and non-examples (where the commutation with limits fails).

研究动机与目标

• 解决长期存在的问题：即当谱曲线族中分支结构在极限处发生变化时，拓扑递归是否与取极限运算交换。
• 形式化全局拓扑递归，并在适当条件下建立其与局部拓扑递归的等价性。
• 为谱曲线族中拓扑递归的解析性提供一个判别准则，尤其针对非退化代数曲线。
• 将结果应用于$(r,s)$-谱曲线、加权赫维茨数及其他例子，区分拓扑递归与极限交换失败的情形。
• 通过辛变换阐明局部可接受性中神秘同余条件$r \equiv \pm 1 \mod s$的几何起源。

提出的方法

• 引入全局拓扑递归的概念，并通过相关函数与谱曲线数据定义垂直全局化。
• 基于原形式的存在性及其变换性质，建立垂直全局化的判别准则。
• 以牛顿多边形与斜率表述全局可接受性，尤其针对非退化代数曲线。
• 利用牛顿多边形的形变理论与法里序列，分析全局可接受性在曲线形变下的行为。
• 将理论应用于具体族，包括$(r,s)$-曲线与加权赫维茨谱曲线，以检验条件。
• 利用辛变换证明同余条件$r \equiv \pm 1 \mod s$自然源于保持$\omega_{0,1}$的映射下的几何约束。

Figure 1. Examples of terms arising in the topological recursion formula ( 12 ) for $i=2,3,4$ , with all possible numbers of connected components for $\mathbf{S}_{{\rm cut}}$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，拓扑递归与谱曲线族中取极限运算交换，尤其当分支类型发生变化时？
• RQ2 全局拓扑递归在何种条件下等价于局部拓扑递归？确保这种等价性的条件是什么？
• RQ3 如何在单参数谱曲线族中保证拓扑递归的解析性？
• RQ4 局部可接受性中的同余条件$r \equiv \pm 1 \mod s$的几何起源是什么？其与辛变换有何关联？
• RQ5 在哪些情况下拓扑递归与极限的交换会失败？其结构性障碍是什么？

主要发现

• 本文为拓扑递归在谱曲线族中与极限交换提供了充分且可实际检验的条件。
• 当存在全局原形式并满足特定解析性与变换性质时，全局拓扑递归与局部拓扑递归等价。
• 对于非退化代数曲线，全局可接受性由牛顿多边形的斜率及奇点处的普鲁兹系列结构表征。
• 当$(r,s)$-曲线的奇异形变导致牛顿多边形的形变破坏全局可接受性时，拓扑递归与极限的交换会失败。
• 局部可接受性中的同余条件$r \equiv \pm 1 \mod s$被证明自然源于保持$\omega_{0,1}$的辛变换作用于$(r,s)$-曲线。
• 该理论成功应用于切比雪夫族与加权赫维茨数，在形变下拓扑递归保持解析且定义良好。

Figure 3. Left panel: the maximal edge with slope $1$ consists of 4 edges. Right panel: the maximal edge of slope $\frac{4}{3}$ consists of a single edge.