[论文解读] Taking the Final Step to a Full Dichotomy of the Possible Winner Problem in Pure Scoring Rules

Dorothea Baumeister, Jörg Rothe|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2011

Game Theory and Voting Systems参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文通过证明此前未解决的评分向量为 (2,1,…,1,0) 的评分规则下 Possible Winner 问题的 NP-完全性，完成了纯评分规则下 Possible Winner 问题的二分法。在 Betzler 和 Dorn 近乎完整的分类基础上，作者构建了一个从命中集问题到该规则下 Possible Winner 问题的多项式时间归约，证明该规则仍具有计算难度，从而最终确定了无权重纯评分规则下候选人数无界的复杂性图谱。

ABSTRACT

The Possible Winner problem asks, given an election where the voters' preferences over the candidates are specified only partially, whether a designated candidate can become a winner by suitably extending all the votes. Betzler and Dorn [1] proved a result that is only one step away from a full dichotomy of this problem for the important class of pure scoring rules in the case of unweighted voters and an unbounded number of candidates: Possible Winner is NP-complete for all pure scoring rules except plurality, veto, and the scoring rule with vector (2,1,...,1,0), but is solvable in polynomial time for plurality and veto. We take the final step to a full dichotomy by showing that Possible Winner is NP-complete also for the scoring rule with vector (2,1,...,1,0).

研究动机与目标

• 解决 Betzler 和 Dorn 对纯评分规则下 Possible Winner 问题的近似完整二分法中剩余的开放问题。
• 确定在评分向量为 (2,1,…,1,0) 的纯评分规则下，Possible Winner 问题的计算复杂性。
• 通过证明该最后一个未解决的评分规则的 NP-完全性，完成完整的二分法。
• 深化对部分偏好下投票系统计算困难性的理解。

提出的方法

• 从 NP-完全的命中集问题到 (2,1,…,1,0) 评分规则下 Possible Winner 问题的多项式时间多对一归约。
• 设计一种选票构造方法，将命中集实例编码为具有特定评分约束的部分选票。
• 利用候选人的评分和选票结构，通过胜者判定模拟命中集的选择。
• 确保指定候选人只有在编码实例中存在大小至多为 k 的有效命中集时才能获胜。
• 通过双向蕴含关系证明正确性：命中集的解存在意味着存在一个可能的胜者扩展，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 在评分向量为 (2,1,…,1,0) 的纯评分规则下，Possible Winner 问题是否为 NP-完全？
• RQ2 该规则是否完成了纯评分规则下 Possible Winner 问题二分法中的所有困难情况？
• RQ3 能否通过从已知的 NP-完全问题归约来解决该规则的未决复杂性？
• RQ4 该规则在更广泛的投票系统复杂性分类中扮演何种角色？

主要发现

• 在评分向量为 (2,1,…,1,0) 的纯评分规则下，Possible Winner 问题为 NP-完全，解决了二分法中的最后一个开放案例。
• 该结果完成了无权重、候选人数无界的纯评分规则下 Possible Winner 问题的完整二分法。
• 该证明建立了从命中集问题到 (2,1,…,1,0) 规则下 Possible Winner 实例的多对一归约。
• 该归约表明，存在大小至多为 k 的有效命中集，当且仅当指定候选人是可能的胜者。
• 该结果意味着在相同评分规则下 Swap Bribery 问题也具有 NP-难性，因为 Possible Winner 是其特例。