[论文解读] Tame dynamics and robust transitivity

Christian Bonatti, Sylvain Crovisier+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文表明，在 $C^1$-拓扑下，即使在温和微分同胚中，链-遍历类的鲁棒传递性也并非普遍成立。通过构造具有一个维中心的偏双曲微分同胚，作者展示了在 $C^1$-开集内存在一类温和系统，使得鲁棒孤立的链-遍历类在任意 $r > 1$ 的 $C^r$-扰动下均不满足传递性，表明在此设定下鲁棒传递性这一性质是脆弱的。

ABSTRACT

One main task of smooth dynamical systems consists in finding a good decomposition into elementary pieces of the dynamics. This paper contributes to the study of chain-recurrence classes. It is known that $C^1$-generically, each chain-recurrence class containing a periodic orbit is equal to the homoclinic class of this orbit. Our result implies that in general this property is fragile. We build a C1-open set U of tame diffeomorphisms (their dynamics only splits into finitely many chain-recurrence classes) such that for any diffeomorphism in a C-infinity-dense subset of U, one of the chain-recurrence classes is not transitive (and has an isolated point). Moreover, these dynamics are obtained among partially hyperbolic systems with one-dimensional center. R\\'esum\\'e : Dynamique mod\\'er\\'ee et transitivit\\'e robuste. L'un des buts des syst\\`emes dynamiques consiste \\`a trouver une bonne d\\'ecomposition de la dynamique en pi\\`eces \\'el\\'ementaires. Cet article contribue \\`a l'\\'etude des classes de r\\'ecurrence par cha\\^ines. On sait que C1-g\\'en\\'eriquement, chaque classe de r\\'ecurrence par cha\\^ines contenant une orbite p\\'eriodique coincide avec la classe homocline de cette orbite. Notre r\\'esultat montre que cette propri\\'et\\'e est en g\\'en\\'erale fragile. Nous construisons un ouvert U de diff\\'eomorphismes mod\\'er\\'es (leur dynamique ne se d\\'ecompose qu'en un nombre fini de classes de r\\'ecurrence par cha\\^ines) tel que pour tout diff\\'eomorphisme appartenant \\`a un sous-ensemble C-infini-dense de U, une des classes de r\\'ecurrence par cha\\^ines n'est pas transitive (elle a un point isol\\'e). De plus, ces dynamiques sont obtenues comme syst\\`emes partiellement hyperboliques avec une direction centrale uni-dimensionnelle.

研究动机与目标

• 研究温和微分同胚中鲁棒孤立的链-遍历类是否必然具有鲁棒传递性。
• 确定链-遍历类与同宿类重合的性质是否在小的 $C^r$-扰动下保持稳定。
• 构造 $C^1$-开集内温和微分同胚的显式例子，其中鲁棒孤立的链-遍历类不具有传递性。
• 分析具有一个维中心的偏双曲系统在链-遍历性与传递性方面的动力学行为。

提出的方法

• 在满足 $\dim(M) \geq 3$ 的紧流形 $M$ 上构造一个 $C^1$-开集 $\mathcal{U}$ 的微分同胚，使得其动力系统为温和且具有一个维中心的偏双曲性。
• 为 $\mathcal{U}$ 中的微分同胚 $f$ 定义一个鲁棒孤立的链-遍历类 $\mathcal{C}_f$，确保该类在 $C^1$-扰动下保持不变。
• 通过分析稳定指标分别为 2 和 1 的双曲周期点 $p$ 和 $q$ 附近的局部动力系统，研究其不变流形的交集。
• 应用 $\lambda$-引理与横截性论证，证明在扰动下 $W^{s}(p)$ 与 $W^{u}(q)$ 以横截方式相交。
• 利用余维一子流形的论证，证明在 $f$ 的 $C^1$-邻域中，使得 $\mathcal{C}_g$ 不传递的微分同胚集合在 $C^r$-拓扑下是稠密的。
• 将 $\mathcal{C}_f$ 的非传递部分表征为 $W^s(q) \cap W^u(p)$，表明其由孤立点构成，且不包含于 $p$ 或 $q$ 的同宿类中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在温和微分同胚中，每一个鲁棒孤立的链-遍历类是否必然具有鲁棒传递性？
• RQ2 是否存在 $C^1$-开集的温和微分同胚，使得其中鲁棒孤立的链-遍历类在 $r > 1$ 的 $C^r$-扰动下不具有传递性？
• RQ3 链-遍历类与同宿类重合的性质在小的 $C^r$-扰动下在多大程度上保持稳定？
• RQ4 具有一个维中心的偏双曲系统动力学如何影响链-遍历类的传递性？
• RQ5 在这些系统中，鲁棒孤立链-遍历类的非传递部分具有何种结构？

主要发现

• 在任意满足 $\dim(M) \geq 3$ 的紧流形 $M$ 上，存在一个 $C^1$-开集 $\mathcal{U}$ 的温和微分同胚，使得对任意 $f \in \mathcal{U}$，链-遍历类 $\mathcal{C}_f$ 是鲁棒孤立的。
• 对任意 $r > 1$，在 $f$ 的 $C^1$-邻域中，使得 $\mathcal{C}_g$ 不传递的微分同胚集合在 $C^r$-拓扑下是稠密的。
• $\mathcal{C}_f$ 的非传递部分恰好为 $W^s(q) \cap W^u(p)$，其由孤立点构成，且与 $p$ 的同宿类不相交。
• $p$ 的同宿类与 $q$ 的同宿类重合，且包含 $\mathcal{C}_f$ 中所有具有相同稳定指标的周期点。
• 若 $\mathcal{C}_f \setminus H_f$ 中的点不属于 $W^s(q)$，则其属于 $p$ 的同宿类；若不属于 $W^u(p)$，则属于 $q$ 的同宿类。
• 使得 $\mathcal{C}_g$ 不传递的微分同胚集合在 $C^1$-拓扑下是余维一子流形的可数并，从而在 $r > 1$ 时具有 $C^r$-稠密性。