[论文解读] Tame topology of arithmetic quotients and algebraicity of Hodge loci

Bruno Klingler|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用 5

一句话总结

本文证明了算术商的统一映射以及纯极化 Z-型 Hodge 结构的周期映射在 o-极小意义下是拓扑驯服的。利用 Peterzil-Starchenko 的 o-极小 GAGA 定理，证明了 Hodge 赋值集——特殊子簇的可数并——是代数的，从而为 Cattani-Deligne-Kaplan 关于 Hodge 赋值集代数性的经典结果提供了新的模型论证明。

ABSTRACT

We prove that the uniformizing map of any arithmetic quotient, as well as the period map associated to any pure polarized $\mathbb{Z}$-variation of Hodge structure $\mathbb{V}$ on a smooth complex quasi-projective variety $S$, are topologically tame. As an easy corollary of these results and of Peterzil-Starchenko's o-minimal GAGA theorem we obtain that the Hodge locus of $(S, \mathbb{V})$ is a countable union of algebraic subvarieties of $S$ (a result originally due to Cattani-Deligne-Kaplan).

研究动机与目标

• 确立算术商的统一映射以及纯极化 Z-型 Hodge 结构变化的周期映射在 o-极小意义下的拓扑驯服性。
• 应用 o-极小几何证明算术商中 Hodge 赋值集的代数性。
• 通过模型论方法，为经典结果——Hodge 赋值集是代数子簇的可数并——提供新的证明。
• 将 o-极小结构的应用从 Shimura 集推广至一般算术商。
• 通过可定义性与 o-极小 GAGA，证明特殊子簇及其在周期映射下的原像为代数集。

提出的方法

• 使用 o-极小结构分析算术商 SΓ,G,M 上统一映射的拓扑驯服性。
• 在多变量情形下应用幂零轨道定理，以幂零轨道逼近周期映射。
• 证明周期映射是 R_an,exp-可定义的，从而将其与 o-极小几何联系起来。
• 利用 Peterzil-Starchenko 的 o-极小 GAGA 定理，得出复解析的可定义子集为代数集。
• 证明算术商中的特殊子簇是 R_an,exp-可定义的，且其在周期映射下的原像也继承该性质。
• 结合可定义性与解析性，通过 o-极小 GAGA 推出 Hodge 赋值集的代数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 算术商的统一映射在 o-极小意义下是否拓扑驯服？
• RQ2 与纯极化 Z-型 Hodge 结构变化相关的周期映射是否拓扑驯服？
• RQ3 能否通过 o-极小几何证明纯极化 Z-型 Hodge 结构变化的 Hodge 赋值集为代数集？
• RQ4 o-极小 GAGA 是否适用于算术商中周期映射下特殊子簇的原像？
• RQ5 能否通过模型论驯服性与可定义性重新证明 Hodge 赋值集的代数性？

主要发现

• 任意算术商 SΓ,G,M 的统一映射在 o-极小意义下均为拓扑驯服的。
• 任意光滑复仿射代数簇上纯极化 Z-型 Hodge 结构变化的周期映射均为拓扑驯服的。
• 此类变化的 Hodge 赋值集是代数子簇的可数并，从而复现了 Cattani-Deligne-Kaplan 的结果。
• 周期映射下特殊子簇的原像是代数集，这是由于 o-极小 GAGA 应用于可定义解析集所致。
• 该证明依赖于周期映射与特殊子簇在 R_an,exp 结构中的可定义性及其解析性。
• 该结果将 o-极小 GAGA 的适用范围扩展至非代数算术商，包括非 Shimura 情形。