[论文解读] Tame topology over definable uniform structures: viscerality and dp-minimality

Alfred Dolich, John Goodrick|arXiv (Cornell University)|May 24, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在模型上使用可定义的均匀拓扑定义内脏结构的框架，表明仅凭内脏性即可确保可定义集的优良性质——例如有限个间断点集合以及在开集上的连续性——同时在额外的无空间填充条件下，还建立了可定义双射下拓扑维数的不变性。该研究在不假设 dp-极小性的情况下推广了先前的结果，并构造了新的内脏结构示例，包括 dp-极小但非弱 o-极小的结构。

ABSTRACT

A visceral structure on a model is given by a definable base for a uniform topology on its universe M in which all basic open sets are infinite and any infinite definable subset X of M has non-empty interior. Assuming only viscerality, we show that the definable sets in M satisfy some desirable topological tameness conditions. For example, any definable unary function has a finite set of discontinuities; any definable function from some Cartesian power of M into M is continuous on an open set; and assuming definable finite choice, we obtain a cell decomposition result for definable sets. Under an additional topological assumption (no space-filling functions), we prove that the natural notion of topological dimension is invariant under definable bijections. These results generalize some of the theorems proved by Simon and Walsberg, who assumed dp-minimality in addition to viscerality. In the final two sections, we construct new examples of visceral structures a subclass of which are dp-minimal yet not weakly o-minimal.

研究动机与目标

• 研究配备可定义均匀拓扑的模型中可定义集的拓扑良态性。
• 理解内脏性（即所有基本开集均为无限集，且每个无限可定义子集均有非空内部）对可定义函数与集合结构的影响。
• 通过仅假设内脏性而非更强的 dp-极小性，推广先前在 dp-极小性假设下获得的结果。
• 构造新的内脏结构示例，特别是那些 dp-极小但非弱 o-极小的结构，以更好地理解模型论良态性层次结构。

提出的方法

• 通过在模型全域上定义可定义基来定义内脏结构，确保所有基本开集为无限集。
• 利用内脏性假设推导出诸如一元可定义函数具有有限间断点集等拓扑性质。
• 应用可定义有限选择，建立结构中可定义集的胞腔分解定理。
• 引入无空间填充函数条件，以证明可定义双射下拓扑维数的不变性。
• 通过模型论与拓扑约束构造新的内脏结构示例，证明 dp-极小性不蕴含弱 o-极小性。
• 分析可定义拓扑、均匀结构与模型论性质（如 dp-极小性与 o-极小性）之间的相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅凭内脏性（不假设 dp-极小性）时，会涌现出哪些拓扑良态性质？
• RQ2 内脏性如何确保可定义函数在某个开集上连续？
• RQ3 在何种条件下，内脏结构中可定义双射下的拓扑维数保持不变？
• RQ4 能否构造出 dp-极小但非弱 o-极小的内脏结构？
• RQ5 可定义拓扑中，内脏性、dp-极小性与无空间填充函数之间存在何种关系？

主要发现

• 任何内脏结构中的一元可定义函数仅有有限个间断点。
• 任何从全域的笛卡尔幂到全域的可定义函数，都在某个开子集上连续。
• 在可定义有限选择假设下，该结构对可定义集具有胞腔分解。
• 在无空间填充函数假设下，可定义双射保持拓扑维数不变。
• 存在 dp-极小但非弱 o-极小的内脏结构，表明良态性具有严格层次结构。
• 本研究结果推广了 Simon 和 Walsberg 的先前定理，无需从一开始就假设 dp-极小性。