[论文解读] Tangent and Bernoulli numbers related to Motzkin and Catalan numbers by means of numerical triangles

José Luis Arregui|ArXiv.org|Sep 17, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文通过矩阵生成的数值三角形，建立了伯努利数与正切数之间与组合结构——莫茨金数和卡塔兰数之间的新联系。通过定义特定的无限矩阵，作者推导出三角形，其首列给出正切数，对角线元素则通过黎曼ζ函数值与伯努利数相关联，从而为ζ(2n)提供了基于莫茨金路径和基于矩阵的递推系统的新型组合解释。

ABSTRACT

It is shown that Bernoulli numbers and tangent numbers (the derivatives of the tangent function at zero) can be obtained by means of easily defined triangles of numbers in several ways, some of them very similar to the Catalan triangle and a Motzkin-like triangle. Our starting point in order to show this is a new expression of Zeta(2n) involving Motzkin paths.

研究动机与目标

• 建立一个将伯努利数与正切数同莫茨金数和卡塔兰数联系起来的新组合框架。
• 证明正切数可作为矩阵生成的数值三角形的首列出现。
• 表明ζ(2n)可通过莫茨金路径及其通过特定矩阵三角形的计数方法进行组合表达。
• 通过基于矩阵的数值三角形，统一研究伯努利数、正切数与割线数。
• 通过将恩廷格关于交错排列的工作嵌入矩阵-三角形形式，实现其扩展。

提出的方法

• 定义一组具有n行和n+1列的矩阵A(n)，通过矩阵乘法tn = tn−1A(n)生成数值三角形T = (tn,m)。
• 使用矩阵A，其元素aij = j(j+1)，当i ≥ j−1时，否则为0，生成一个三角形，其首列给出正切数tan(2n−1)(0)。
• 通过受卡利比方法启发的体积解释，将ζ(2n)组合地表达为对莫茨金路径的求和。
• 构造一个含变量x的矩阵A(x)，生成多项式Pn(x)，使得Pn(1) = (n+1)! 且 Pn(0) = tan(n+1)(0)，从而实现通过小x值提取正切数的数值方法。
• 应用恩廷格递推式En+1,k+1 = En+1,k + En,n−k，通过矩阵子矩阵生成塞idel-恩廷格-阿诺德三角形。
• 使用矩阵乘积，从修改后的矩阵A生成的三角形中恢复出割线数和正切数作为特定条目。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过基于矩阵的数值三角形系统地生成正切数与伯努利数？
• RQ2 如何通过莫茨金路径及其计数方法，以组合方式表达ζ(2n)？
• RQ3 矩阵结构在生成卡塔兰数、莫茨金数与正切数等序列中起什么作用？
• RQ4 能否将恩廷格递推式嵌入矩阵-三角形框架中，以同时恢复割线数与正切数？
• RQ5 是否存在一种基于矩阵生成三角形的多项式插值方法，通过Pn(x)在x=0处的取值提取正切数？

主要发现

• 由矩阵A生成的三角形中，首列为正切数序列tan(2n−1)(0)，其中aij = j(j+1)，当i ≥ j−1时。
• 同一三角形的对角线元素与伯努利数通过ζ(2n)相关联，且ζ(2n)可表示为对莫茨金路径的求和。
• 由矩阵A(x)生成的多项式Pn(x)满足Pn(1) = (n+1)! 且 Pn(0) = tan(n+1)(0)，从而可通过小x值实现正切数的数值提取。
• 含x与j(j+1)元素的矩阵A(x)生成的三角形中，当x = 1/(n+1)!时，Pn(x)对tan(n+1)(0)的逼近误差小于1。
• 通过矩阵子矩阵A(n)（当i+j > n时元素为1，否则为0）可重构交错排列的塞idel-恩廷格-阿诺德三角形。
• 由矩阵A生成的三角形中，当aij = 1（若i为奇数且i≤j，或j为奇数且j≤i+1），则每一行是恩廷格数的排列，且首列给出锯齿数βn。