[论文解读] Tangent bundles to sub-Riemannian groups

Marius Buliga|ArXiv.org|Jul 25, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用 17

一句话总结

本文通过基于Pansu导数和度量切锥提出一种新的可微性概念，为子黎曼群上的切丛提出了一套新颖的框架。它建立了在卡诺群之间利普希茨映射的Rademacher型定理，证明了几乎处处可微性，并构建了一个保持群性质的切丛结构，解决了李群上非欧几里得分析中的关键问题。

ABSTRACT

This paper is about non-Euclidean analysis on Lie groups endowed with left invariant distributions, seen as sub-Riemannian manifolds. This is a an updated version, which will be modified according to the contributions of the other participants to the Borel Seminar. The current version can be downloaded at http://irmi.epfl.ch/cag/buliga_sr.html . All comments are welcomed.

研究动机与目标

• 为解决子黎曼李群上非欧几里得分析中的基础性问题，特别是标准切丛缺乏群结构的问题。
• 解决在卡诺群的标准微积分中右平移、逆元和群运算不光滑的问题。
• 构建一个微积分框架，使得切丛继承群结构，且导数为群同态。
• 通过度量切锥和幂零化方法，将Pansu-Rademacher可微性理论扩展到更广类别的函数。
• 通过字切丛和温和切丛构造，建立子黎曼几何中光滑性与高阶导数的内在、一致的定义。

提出的方法

• 利用缩放度量的Gromov-Hausdorff收敛性，在每一点定义度量切锥，其等距同构于李代数的幂零化 $N(G)$。
• 通过伴随映射 $Ad^G$ 和 $Ad^N$ 在无穷小元素上的作用，引入弱切丛 ($Weak_0(G)$) 和温和切丛 ($MC^0(G)$, $MC(G)$) 的概念。
• 通过满足缩放距离中一致收敛条件的群同态 $Df(x): MC^0(G) o MC^0(G')$ 定义可微性。
• 应用Stepanov型定理，证明卡诺群之间利普希茨映射在新意义下几乎处处可微。
• 通过字切丛 $WSO(3)$ 构造切丛结构，并证明其同构于海森堡群 $H(1)$（当 $SO(3)$ 时）。
• 证明温和切丛 $MC(SO(3))$ 同构于 $SL(3,\mathbb{R})$，表明在新微积分下群结构得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为子黎曼李群定义一个具群结构的一致切丛，以克服标准微积分的失效？
• RQ2 如何重新定义可微性，使得导数为群同态且链式法则成立？
• RQ3 度量切锥、幂零化与卡诺群上内在微积分之间的关系是什么？
• RQ4 在此新框架下，子黎曼群之间利普希茨映射是否满足Rademacher型定理？
• RQ5 切丛构造能否保持群结构，并允许有意义的高阶导数概念？

主要发现

• 定义了一种新的可微性概念，使得导数 $Df(x)$ 是从 $MC^0(G)$ 到 $MC^0(G')$ 的群同态，确保与群运算的兼容性。
• 扩展了Rademacher定理：任一卡诺群之间利普希茨映射 $f: G o G'$ 在新意义下几乎处处可微。
• 对于由 $X_1, X_2$ 张成分布的 $SO(3)$，其幂零化得到海森堡群 $H(1)$，且字切丛 $WSO(3)$ 同构于 $H(1)$。
• 温和切丛 $MC(SO(3))$ 同构于 $SL(3,\mathbb{R})$，表明切丛构造保持了非交换群结构。
• 通过 $MC(G)$ 构造的切丛 $TG$ 不仅是丛，还自然携带群结构，解决了先前构造中的关键局限。
• 该框架使得在子黎曼群上存在一致的微积分，其中光滑性通过群同态和缩放度量中的一致收敛来定义。