[论文解读] Tangent Lie algebras to the holonomy group of a Finsler manifold

Zoltán Muzsnay, Péter T. Nagy|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文通过构造无穷小仿射 holonomy 代数（即在指标球面上包含曲率向量场及其通过 Berwald 连接的水平协变导数的最小李代数），为 Finsler 流形提出了一种新的 holonomy 代数。随后，将完整的 holonomy 代数定义为沿所有曲线的 Berwald 平移下这些无穷小代数的并集。关键结果是该 holonomy 代数与 holonomy 群相切，为非黎曼 Finsler 几何中 holonomy 群的切空间提供了一个系统化的框架。

ABSTRACT

Our goal in this paper is to make an attempt to find the largest Lie algebra of vector fields on the indicatrix such that all its elements are tangent to the holonomy group of a Finsler manifold. First, we introduce the notion of the curvature algebra, generated by curvature vector fields, then we define the infinitesimal holonomy algebra by the smallest Lie algebra of vector fields on an indicatrix, containing the curvature vector fields and their horizontal covariant derivatives with respect to the Berwald connection. At the end we introduce the notion of the holonomy algebra of a Finsler manifold by all conjugates of infinitesimal holonomy algebras by parallel translations with respect to the Berwald connection. We prove that this holonomy algebra is tangent to the holonomy group.

研究动机与目标

• 为 Finsler 流形定义一个与 holonomy 群相切的 holonomy 代数，以解决非黎曼几何中缺乏系统化切李代数的问题。
• 通过从曲率向量场及其协变导数构造李代数，将 Ambrose-Singer 型定理推广至 Finsler 几何。
• 通过引入基于 Berwald 连接的明确定义且最小的李代数结构，解决无穷维 holonomy 代数中的非闭合问题。
• 建立一个一致的 holonomy 代数框架，该框架可推广至黎曼情形，并适用于非黎曼 Finsler 流形。
• 澄清 holonomy 代数与 holonomy 群之间的切向关系，特别是在 holonomy 群非有限维的情况下。

提出的方法

• 将曲率代数定义为指标球面上由曲率向量场生成的李代数，已知其与 holonomy 群相切。
• 将无穷小 holonomy 代数定义为包含曲率向量场及其关于 Berwald 连接的水平协变导数的指标球面上的最小李代数。
• 利用 Berwald 连接定义沿曲线的向量场平行移动，从而实现在流形上运输无穷小 holonomy 代数。
• 将 holonomy 代数构造为沿任意分段光滑曲线的所有 Berwald 平移下无穷小 holonomy 代数的并集。
• 应用平行移动下的共轭概念，以确保 holonomy 代数在 holonomy 变换下是良定义且不变的。
• 通过证明其元素源于 holonomy 群的 1-参数子群的生成元，证明 holonomy 代数与 holonomy 群相切。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Finsler 流形的指标球面上，与 holonomy 群相切的最大李代数的向量场是什么？
• RQ2 如何系统地从曲率向量场及其协变导数构造一个李代数，以捕捉无穷小 holonomy 结构？
• RQ3 是否可以以一种在流形上所有点都一致且在平行移动下不变的方式定义 holonomy 代数？
• RQ4 通过无穷小 holonomy 代数的 Berwald 平移构造的 holonomy 代数是否仍与 holonomy 群相切？
• RQ5 所提出的 holonomy 代数在一般 Finsler 几何中是否为与 holonomy 群相切的最大切李代数？

主要发现

• 在任意点 p 处的无穷小 holonomy 代数与 holonomy 群 Hol(p) 相切，因为其源于一个本身与纤维化 holonomy 群相切的纤维化 holonomy 代数。
• 在点 p 处，Finsler 流形的 holonomy 代数被定义为指标球面 I_pM 上包含沿任意曲线的所有 Berwald 平移下无穷小 holonomy 代数的最小李代数。
• 已证明 holonomy 代数与 holonomy 群相切，为 Finsler holonomy 的李代数结构建立了严格的理论基础。
• Berwald 平移保持了相切性质，确保 holonomy 代数在平行移动下仍保持相切。
• 该构造通过确保协变导数和通过平行移动的共轭下的封闭性，解决了无穷维 holonomy 代数中的模糊性问题。
• holonomy 代数在流形的所有点之间同构，反映了该构造的内在几何本质。