[论文解读] Tangent-point repulsive potentials for a class of non-smooth $m$-dimensional sets in $\\R^n$. Part I: Smoothing and self-avoidance effects

Paweł Strzelecki, Heiko von der Mosel|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 6

一句话总结

本文为 $\mathbb{R}^n$ 中非光滑 $m$-维集合引入了一种切点排斥势能泛函，证明当指数 $q > 2m$ 时，能量的有限性强制实现 $C^{1,\mu}$ 正则性，最优 Hölder 指数为 $\mu = 1 - 2m/q$，并伴随拓扑自避性与一致 Ahlfors 正则性。结果通过能量约束建立了几何 Morrey-Sobolev 嵌入。

ABSTRACT

We consider repulsive potential energies $\\E_q(\\Sigma)$, whose integrand measures tangent-point interactions, on a large class of non-smooth $m$-dimensional sets $\\Sigma$ in $\\R^n.$ Finiteness of the energy $\\E_q(\\Sigma)$ has three sorts of effects for the set $\\Sigma$: topological effects excluding all kinds of (a priori admissible) self-intersections, geometric and measure-theoretic effects, providing large projections of $\\Sigma$ onto suitable $m$-planes and therefore large $m$-dimensional Hausdorff measure of $\\Sigma$ within small balls up to a uniformly controlled scale, and finally, regularizing effects culminating in a geometric variant of the Morrey-Sobolev embedding theorem: Any admissible set $\\Sigma$ with finite $\\E_q$-energy, for any exponent $q>2m$, is, in fact, a $C^1$-manifold whose tangent planes vary in a H\\"older continuous manner with the optimal H\\"older exponent $\\mu=1-(2m)/q$. Moreover, the patch size of the local $C^{1,\\mu}$-graph representations is uniformly controlled from below only in terms of the energy value $\\E_q(\\Sigma)$.

研究动机与目标

• 建立切点排斥能量在 $\mathbb{R}^n$ 中非光滑 $m$-维集合上的正则化效应。
• 证明当 $q > 2m$ 时，能量有限蕴含 $C^{1,\mu}$ 正则性，且最优 Hölder 指数为 $\mu = 1 - 2m/q$。
• 展示此类能量强制实现拓扑自避性，排除自交现象。
• 基于能量值推导出 $C^{1,\mu}$-图表示中补丁大小的统一下界。

提出的方法

• 通过切点半径 $R_{\rm tp}(x,y)$ 定义能量泛函 $\mathcal{E}_q(\Sigma) = \iint_{\Sigma \times \Sigma} \frac{1}{R_{\rm tp}^q(x,y)} \, d\mathscr{H}^m(x) \, d\mathscr{H}^m(y)$，其中 $R_{\rm tp}(x,y)$ 表示在点 $x$ 处与切平面相切且通过点 $y$ 的最小球的半径。
• 允许集合类 $\mathcal{A}$ 包含有限个 $C^1$ 子流形的双Lipschitz 像，允许自交现象，但排除锥形奇点。
• 证明依赖于截面分析与逐步提升技术，以控制局部图表示梯度的振荡。
• 利用几何测度论中的角度估计与投影界，控制梯度的 Hölder 半范数。
• 运用关于集合向板状区域投影的引理及投影测度的统一有界性，推导出对 Hölder 指数的定量控制。
• 识别临界指数 $q_0 = 2m$ 为尺度不变，且当 $q > 2m$ 时，所有奇点与自交现象均被排除。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathbb{R}^n$ 中的非光滑 $m$-维集合 $\Sigma$，当 $q > 2m$ 时，有限切点能量 $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ 强制其具有何种正则性性质？
• RQ2 能量 $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ 如何防止自交并强制 $\Sigma$ 的拓扑嵌入？
• RQ3 能否根据能量值 $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ 量化切平面的 Hölder 正则性？
• RQ4 在 $q$ 与 $m$ 的表达下，$\Sigma$ 的 $C^{1,\mu}$-正则性最优 Hölder 指数 $\mu$ 是什么？
• RQ5 是否存在仅依赖于 $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ 的局部 $C^{1,\mu}$-图表示补丁大小的统一下界？

主要发现

• 对于任意 $\Sigma \in \mathcal{A}$，若 $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ 有限且 $q > 2m$，则 $\Sigma$ 为具有 $\mu$-Hölder 连续切平面的 $C^{1}$-流形，其中 $\mu = 1 - 2m/q$ 为最优值。
• 局部 $C^{1,\mu}$-图表示的补丁大小仅依赖于能量值 $\mathcal{E}_q(\Sigma)$，具有统一的下界。
• $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ 对于 $q > 2m$ 的有限性意味着 $\Sigma$ 无自交，因此为嵌入流形。
• $\Sigma$ 的 $m$-维 Hausdorff 测度在小尺度下具有一致 Ahlfors 正则性，即在半径为 $r$ 的球内测度与 $r^m$ 可比较。
• 能量 $\mathcal{E}_q(\Sigma)$ 控制局部参数化梯度的振荡，满足 $|\nabla f(u_1) - \nabla f(u_2)| \leq C E_B^{1/q} t^\mu$，其中 $u_1, u_2$ 位于半径为 $t/N$ 的球内，$E_B$ 为局部能量界。
• 证明建立了 $\mathscr{H}^m(\pi_{H_1}(F(G))) \leq C_2(m) K_0 \frac{t^{m+\mu}}{\alpha}$，其中 $\alpha = \mathop{\rm dist}(H_1, H_2)$，从而导出最终的 Hölder 估计。