[论文解读] Tangent spaces and tangent bundles for diffeological spaces

J. Daniel Christensen, Enxin Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 54

一句话总结

本文引入并比较了光滑流形的推广——微分空间中两种切空间的定义：内切空间（通过光滑曲线）与外切空间（通过函数芽上的导子）。证明了在光滑流形上两者一致，但一般情况下会分歧。本文纠正了先前关于切丛构造中的错误，提出了一种改进的 dvs 微分结构，确保切丛具有光滑的向量空间运算，并建立了映射空间切丛与向量场空间之间的同构关系，尤其在紧致流形情况下成立。

ABSTRACT

We study how the notion of tangent space can be extended from smooth manifolds to diffeological spaces, which are generalizations of smooth manifolds that include singular spaces and infinite-dimensional spaces. We focus on two definitions. The internal tangent space of a diffeological space is defined using smooth curves into the space, and the external tangent space is defined using smooth derivations on germs of smooth functions. We prove fundamental results about these tangent spaces, compute them in many examples, and observe that while they agree for smooth manifolds and many of the examples, they do not agree in general. After this, we recall Hector's definition of the tangent bundle of a diffeological space, and show that both scalar multiplication and addition can fail to be smooth, revealing errors in several references. We then give an improved definition of the tangent bundle, using what we call the dvs diffeology, which ensures that scalar multiplication and addition are smooth. We establish basic facts about these tangent bundles, compute them in many examples, and study the question of whether the fibres of tangent bundles are fine diffeological vector spaces. Our examples include singular spaces, spaces whose natural topology is non-Hausdorff (e.g., irrational tori), infinite-dimensional vector spaces and diffeological groups, and spaces of smooth maps between smooth manifolds (including diffeomorphism groups).

研究动机与目标

• 澄清并形式化微分空间的切空间定义，微分空间是光滑流形的推广，包含奇异或无穷维空间。
• 比较两种不同的定义——内切空间（基于曲线）与外切空间（基于导子），并确定其在何种条件下一致或分歧。
• 识别并纠正先前关于切丛构造中的错误，特别是关于标量乘法与加法光滑性的错误。
• 引入 dvs 微分结构作为改进的结构，确保切丛是恰当的微分空间向量丛。
• 建立映射空间切丛与向量场空间之间的同构关系，尤其在紧致流形情况下。

提出的方法

• 通过通过某一点的光滑曲线的等价类定义内切空间，捕捉类似速度的信息。
• 通过在某一点处实值光滑函数芽上的光滑导子定义外切空间。
• 证明内切空间仅依赖于维度 ≤2 的图，而外切空间仅依赖于维度 ≤1 的图。
• 在切丛上构造 Hector 微分结构，并证明加法与标量乘法可能不光滑。
• 引入 dvs 微分结构作为切丛上的修正、更精细的微分结构，以确保向量空间运算的光滑性。
• 利用函子性与嵌入技术，证明当 $ X $ 为紧致且 $ N $ 光滑时，有 $ T^{dvs}(C^inity(X,N)) \cong C^inity(X,TN) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，微分空间的内切空间与外切空间一致？
• RQ2 为何微分空间的标准切丛构造无法使切丛成为微分空间向量丛？
• RQ3 能否在切丛上定义一种改进的微分结构，以恢复加法与标量乘法的光滑性？
• RQ4 函数空间如 $ C^inity(X,M) $ 的切空间与 $ M $ 上向量场空间有何关系？
• RQ5 微分同胚群的切丛与底流形上光滑向量场空间之间的确切关系为何？

主要发现

• 内切空间与外切空间在光滑流形及许多标准例子中一致，但一般情况下会分歧，反例包括一维无理环面与 $ \mathbb{R}^n $ 上的线状微分结构。
• 在一维无理环面上，内切空间为 $ \mathbb{R} $，而外切空间为 $ \mathbb{R}^0 $，显示出根本性的分歧。
• 标准 Hector 切丛构造无法使标量乘法与加法光滑，导致若干先前文献中的断言失效。
• 引入 dvs 微分结构并证明其使切丛成为微分空间向量丛，从而确保向量空间运算的光滑性。
• 对于紧致光滑流形 $ M $，微分同胚群 $ \mathfrak{Diff}(M) $ 在单位元处的切空间同构于 $ M $ 上光滑向量场的空间，确认了文献中的一个关键结果。
• 当 $ X $ 具有紧致 $ D $-拓扑时，映射 $ \gamma: T^{dvs}(C^\infty(X,N)) \to C^\infty(X,TN) $ 是 $ C^\infty(X,N) $ 上的微分空间向量丛同构，建立了深层次的结构等价性。