[论文解读] Tangent spaces to metric spaces and to their subspaces

Oleksiy Dovgoshey|ArXiv.org|Apr 28, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 9被引用 23

一句话总结

本文通过使用收敛于某一点的序列及归一化序列，提出了一种适用于一般度量空间的切空间的内在概念。文章建立了两个子空间在公共点处具有等距切空间的条件，证明了这种等距性恰好发生在两个子空间强切等价时，该理论在欧氏空间中的曲线、曲面及奇异集中具有应用。

ABSTRACT

We investigate a tangent space at a point of a general metric space and metric space valued derivatives. The conditions under which two different subspace of a metric space have isometric tangent spaces in a common point of these subspaces are completely determinated.

研究动机与目标

• 为任意度量空间发展一种不依赖线性结构的内在切空间概念。
• 利用切空间定义度量空间值导数，实现在非线性环境下的微分。
• 确定度量空间中两个子空间在公共点处具有等距切空间的必要与充分条件。
• 通过强切等价性，刻画预切空间何时与模型空间（如 $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}$）等距。
• 提供一种框架，用于通过基于序列的极限研究度量测度空间中的可微性与几何结构。

提出的方法

• 将预切空间定义为通过归一化序列 $\tilde{r}$ 构造的收敛于某点的序列所形成的伪度量空间的度量化空间。
• 通过极限 $\tilde{d}_{\tilde{r}}(\tilde{x},\tilde{y}) = \lim_{n\to\infty} \frac{d(x_n,y_n)}{r_n}$ 引入序列之间的相互稳定性。
• 构造序列的最大自稳定族，以确保预切空间的完备性。
• 使用佐恩引理（Zorn’s Lemma）保证存在包含基点常值序列的最大自稳定族。
• 将切空间定义为在等价关系 $\tilde{x} \sim \tilde{y} \iff \tilde{d}(\tilde{x},\tilde{y}) = 0$ 下的商空间 $\Omega_{a,\tilde{r}}$。
• 将子空间之间的强切等价性作为预切空间等距的关键条件，利用涉及距离与归一化序列的极限关系进行定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，度量空间中两个子空间在公共点处的预切空间是等距的？
• RQ2 在何种条件下，度量空间在某点的预切空间与模型空间（如 $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$, 或 $\mathbb{C}$）等距？
• RQ3 如何利用切空间内在地定义度量空间值导数？
• RQ4 归一化序列 $\tilde{r}$ 的选择在决定预切空间结构方面起什么作用？
• RQ5 强切等价性概念能否用于分类度量空间中子空间的局部几何结构？

主要发现

• 度量空间 $X$ 的两个子空间 $Y$ 与 $Z$ 在公共点 $a$ 处具有等距预切空间，当且仅当它们在 $a$ 处强切等价。
• 对于 $C^1$-光滑曲线 $F: [0,1] \to E^n$ 且在 $t_0$ 处导数非零，对任意归一化序列，其在点 $a = F(t_0)$ 处的预切空间与 $\mathbb{R}$ 等距。
• 若 $Y$ 是 $X$ 的稠密子空间，则对所有 $a \in Y$，$X$ 与 $Y$ 在 $a$ 处强切等价，因此其预切空间两两等距。
• 对于在原点处具有共同导数的 $n$ 个函数的图像的并集，其在原点处的预切空间与 $\mathbb{R}$ 等距。
• 对于由秩为 2 的雅可比矩阵的 $C^1$-映射定义的 $E^n$ 中的曲面，其在像点处的预切空间与 $\mathbb{C}$ 等距。
• 对于奇异集 $\{(x,y,z) \in E^3 : \sqrt{y^2 + z^2} \leq x^{1+\alpha}, x \geq 0\}$，其在原点处的预切空间与 $\mathbb{R}^+$ 等距。