[论文解读] Tangential Structures on Toric Manifolds, and Connected Sums of Polytopes

Victor Matveevich Buchstaber, Nigel Ray|ArXiv.org|Oct 2, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 18

一句话总结

本文引入了全向定向的环状流形，证明每个全向定向均诱导一个与环作用相容的典范稳定复结构，从而在等变cobordism环中定义了一个元素。关键贡献在于证明了每个维度大于2的复cobordism类中均包含一个连通环状流形，其稳定复结构由全向定向产生，从而解决了代数簇情形下Hirzebruch问题的环状类比。

ABSTRACT

We extend work of Davis and Januszkiewicz by considering {\it omnioriented} toric manifolds, whose canonical codimension-2 submanifolds are independently oriented. We show that each omniorientation induces a canonical stably complex structure, which is respected by the torus action and so defines an element of an equivariant cobordism ring. As an application, we compute the complex bordism groups and cobordism ring of an arbitrary omnioriented toric manifold. We consider a family of examples $B_{i,j}$, which are toric manifolds over products of simplices, and verify that their natural stably complex structure is induced by an omniorientation. Studying connected sums of products of the $B_{i,j}$ allows us to deduce that every complex cobordism class of dimension >2 contains a toric manifold, necessarily connected, and so provides a positive answer to the toric analogue of Hirzebruch's famous question for algebraic varieties. In previous work, we dealt only with disjoint unions, and ignored the relationship between the stably complex structure and the action of the torus. In passing, we introduce a notion of connected sum $#$ for simple $n$-dimensional polytopes; when $P^n$ is a product of simplices, we describe $P^n# Q^n$ by applying an appropriate sequence of {\it pruning operators}, or hyperplane cuts, to $Q^n$.

研究动机与目标

• 通过引入全向定向的环状流形，使每个典范余维数2子流形独立定向，从而扩展Davis与Januszkiewicz的环状流形理论。
• 证明每个全向定向均诱导一个与环作用保持一致的稳定复结构，使流形嵌入等变cobordism环中。
• 通过证明每个维度大于2的复cobordism类中均包含一个具有全向定向稳定复结构的连通环状流形，解决Hirzebruch问题在环状情形的类比。
• 为简单多面体提出一种组合意义上的连通和概念，利用修剪算子与超平面截面实现。
• 展示任意全向定向环状流形的复bordism环与cobordism环均可通过该框架计算。

提出的方法

• 在环状流形上引入全向定向的概念，为典范余维数2子流形赋予一致定向。
• 利用稳定法丛上的诱导复结构，在每个全向定向环状流形上定义一个与环作用相容的典范稳定复结构。
• 通过其商多面体上的组合运算，构造环状流形的连通和，使用修剪算子与超平面截面描述 $P^n \# Q^n$。
• 建立等变连通和 $M^{2n} \#_{x,y} N^{2n}$ 与标准连通和之间的微分同胚，证明诱导的稳定复结构与原始结构的连通和一致。
• 利用作为单纯形乘积的环状流形族 $B_{i,j}$ 作为构建块，通过连通和生成所有复bordism类。
• 利用 $B_{i,j}$ 上的稳定复结构由全向定向诱导，且其连通和生成复bordism环的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个维度大于2的复cobordism类是否均可由一个具有与环作用相容的稳定复结构的连通环状流形表示？
• RQ2 环状流形的连通和能否在它们的商多面体层面通过组合方式定义？
• RQ3 环状流形上的稳定复结构与其全向定向之间有何关系？
• RQ4 修剪算子与超平面截面如何描述简单多面体的连通和？
• RQ5 能否利用其组合数据显式计算全向定向环状流形的复bordism环？

主要发现

• 每个维度大于2的复cobordism类中均包含一个连通环状流形，其稳定复结构由全向定向产生且与环作用相容。
• 通过对其商多面体进行组合修剪构造的两个全向定向环状流形的连通和，产生一个新的环状流形，其稳定复结构为原始结构的连通和。
• 复bordism环 $\varOmega_*^U$ 由环状流形 $B_{i,j}$ 的cobordism类生成，其中 $B_{i,j}$ 为单纯形的乘积且具有全向定向。
• 通过在 $Q^n$ 上连续应用修剪算子或超平面截面，描述了简单多面体 $P^n$ 与 $Q^n$ 的 $P^n \# Q^n$ 构造，为连通和提供了组合模型。
• 连通和 $M^{2n} \#_{x,y} N^{2n}$ 上的稳定复结构微分同胚于标准连通和，且与原始结构的不相交并集cobordant。
• 对于维度1的情形，结果以弱化形式成立：$\mathbb{CP}^1$ 代表 $\varOmega_2^U \cong \mathbb{Z}$，但仅当 $n = \pm 1$ 时结构才由全向定向诱导；此情形下可通过修改特征定义扩展结果。