[论文解读] Tannaka Duality for Geometric Stacks

Jacob Lurie|ArXiv.org|Dec 14, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 42

一句话总结

本文建立了复数域上几何堆栈的塔南卡对偶性，证明了当 $X$ 为几何堆栈（拟紧且对角线仿射）时，解析化函子 $\phi: \operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(S,X) \to \operatorname{Hom}(S^\operatorname{an},X^\operatorname{an}})$ 是一个等价，即代数态射与解析态射之间存在等价关系，从而将经典 GAGA 原理推广至通过凝聚层上的张量函子描述的堆栈类别。

ABSTRACT

We show that, under appropriate hypothesis, the groupoid of maps from S to an an algebraic stack X can be identified with a category of tensor functors from coherent sheaves on X to coherent sheaves on S. As an application, we show that if S is a proper variety over the field of complex numbers, then every ``analytic'' map from S to X is ``algebraic''.

研究动机与目标

• 寻找代数堆栈 $X$ 的自然条件，使得解析化函子 $\phi: \operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(S,X) \to \operatorname{Hom}(S^{\operatorname{an}},X^{\operatorname{an}})$ 成为等价。
• 将经典的 GAGA 定理推广至更广泛的堆栈类别，超越概形与商堆栈。
• 在代数与解析两种设定下，利用凝聚层上的拉回函子，建立对态射 $f: S \to X$ 的塔南卡特征化。
• 证明当 $X$ 为几何堆栈且 $S$ 为复数域上的概化时，解析化函子为等价。

提出的方法

• 在代数设定下，通过拉回函子 $f^*: \operatorname{Coh}_X \to \operatorname{Coh}_S$ 特征化态射 $f: S \to X$。
• 通过 $S$ 与 $X$ 的解析化以及诱导的凝聚层函子，将此特征化推广至解析设定。
• 利用塞尔的 GAGA 定理，建立 $\operatorname{Coh}_S$ 与 $\operatorname{Coh}_{S^{\operatorname{an}}}$ 作为阿贝尔张量范畴的等价。
• 证明一个函子 $F: \operatorname{Coh}_X \to \operatorname{Coh}_S$ 由某个态射 $S \to X$ 引出，当且仅当其解析化是良态的，即保持平坦性与正合性。
• 证明解析化映射 $p: (S^{\operatorname{an}}, \mathcal{O}_{S^{\operatorname{an}}}) \to (S, \mathcal{O}_S)$ 是忠实平坦的，从而支持平坦性性质的下降。
• 通过比较拉回函子在解析化下的行为，证明在代数与解析设定下由态射导出的函子子范畴完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于概化堆栈 $S$，解析化函子 $\phi: \operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(S,X) \to \operatorname{Hom}(S^{\operatorname{an}},X^{\operatorname{an}})$ 成为等价？
• RQ2 经典 GAGA 原理（关于向量丛与凝聚层）能否推广至一般堆栈上的态射？
• RQ3 是否存在对从概化德利涅-穆默福德堆栈到几何堆栈的态射的塔南卡特征化，且在代数与解析范畴中均成立？
• RQ4 一个态射的解析化是否可因子化为凝聚层上的张量函子？何时此类函子可上延为一个态射？
• RQ5 解析化映射 $p: S^{\operatorname{an}} \to S$ 的何种性质可保证平坦性与正合性在拉回下保持不变？

主要发现

• 当 $X$ 为复数域上有限型的几何堆栈且 $S$ 为复数域上的概化德利涅-穆默福德堆栈时，解析化函子 $\phi: \operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(S,X) \to \operatorname{Hom}(S^{\operatorname{an}},X^{\operatorname{an}})$ 是一个等价。
• 态射 $f: S \to X$ 等价于一个保持平坦性与正合性的张量函子 $f^*: \operatorname{Coh}_X \to \operatorname{Coh}_S$，且此特征化可提升至解析设定。
• 解析化映射 $p: (S^{\operatorname{an}}, \mathcal{O}_{S^{\operatorname{an}}}) \to (S, \mathcal{O}_S)$ 是忠实平坦的，从而支持从解析到代数设定的平坦性下降。
• 在 $S$ 上的凝聚层范畴与在 $S^{\operatorname{an}}$ 上的凝聚层范畴之间存在作为阿贝尔张量范畴的等价，从而支持代数与解析函子之间的比较。
• 一个函子 $F: \operatorname{Coh}_X \to \operatorname{Coh}_S$ 由某个态射 $S \to X$ 引出，当且仅当其解析化 $F^{\operatorname{an}}$ 是良态的，即保持平坦性与正合性。
• 若 $X$ 不是几何堆栈，则结论不成立；例如，当 $X$ 是一个阿贝尔簇的分类堆栈时，结论即不成立。