[论文解读] Tannaka duality for proper Lie groupoids

Giorgio Trentinaglia|ArXiv.org|Sep 19, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过引入光滑欧几里得丛——连续希尔伯特丛的光滑、有限维类比——建立了恰当李群概形的坦纳卡对偶定理，并表明一个恰当李群概形可从其在这些丛上的光滑表示范畴中重构。关键贡献是一项重构定理，通过其光滑欧几里得丛表示的张量范畴识别群概形，将经典坦纳卡对偶推广至光滑、非交换、几何化的恰当李群概形设定。

ABSTRACT

The main contribution of this thesis is a Tannaka duality theorem for proper Lie groupoids. This result is obtained by replacing the category of smooth vector bundles over the base manifold of a Lie groupoid with a larger category, the category of smooth Euclidean fields, and by considering smooth actions of Lie groupoids on smooth Euclidean fields. The notion of smooth Euclidean field that is introduced here is the smooth, finite dimensional analogue of the familiar notion of continuous Hilbert field. In the second part of the thesis, ordinary smooth representations of Lie groupoids on smooth vector bundles are systematically studied from the point of view of Tannaka duality, and various results are obtained in this direction.

研究动机与目标

• 将坦纳卡对偶推广至恰当李群概形的设定，后者是李群的推广，用于编码轨道丛与叠中的几何对称性。
• 通过引入更大、更灵活的范畴——光滑欧几里得丛——克服经典向量丛表示理论的局限性。
• 建立一项重构定理，从光滑欧几里得丛上的光滑表示范畴中恢复恰当李群概形。
• 为使用张量范畴与纤维结构研究李群概形的表示提供一个框架，适用于轨道丛与有效群概形。
• 证明恰当有效李群概形可完全从其表示范畴中恢复，推广经典坦纳卡对偶。

提出的方法

• 引入光滑欧几里得丛的概念：配备光滑内积的光滑有限维向量丛，作为连续希尔伯特丛的光滑类比。
• 定义李群概形在光滑欧几里得丛上的光滑作用，推广经典向量丛上的表示。
• 在李群概形的底流形上构造光滑欧几里得丛的纤维张量范畴，配备相容的群概形作用。
• 利用张量函子与纤维函子的理论，将恰当李群概形的表示范畴与其几何结构联系起来。
• 证明光滑欧几里得丛表示范畴是一个具有忠实纤维函子的刚性、半单张量范畴，满足坦纳卡重构的条件。
• 建立重构定理，表明原李群概形同构于其在光滑欧几里得丛上纤维函子的张量自同构群概形，前提是满足恰当性与有效性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 坦纳卡对偶能否从紧致群推广至更一般的几何对象——恰当李群概形？
• RQ2 如何丰富李群概形表示范畴的结构，以实现群概形的完整重构？
• RQ3 在非交换与恰当设定下，李群概形坦纳卡对偶中光滑向量丛的适当替代物是什么？
• RQ4 在何种条件下，恰当李群概形可从其在光滑欧几里得丛上的光滑表示范畴中重构？
• RQ5 光滑欧几里得丛的概念如何促进李群概形与叠语境下的坦纳卡型对偶？

主要发现

• 恰当李群概形的光滑欧几里得丛表示范畴构成一个具有忠实纤维函子的刚性、半单张量范畴，满足坦纳卡对偶的公理。
• 恰当李群概形同构于其在光滑欧几里得丛上纤维函子的张量自同构群概形，确立了完整的重构结果。
• 恰当有效李群概形在切丛上的典范表示是忠实的，提供了群概形作用的几何实现。
• 恰当有效李群概形的类与轨道丛相关的李群概形类弱等价，表明该结果与轨道丛几何密切相关。
• 光滑欧几里得丛理论使坦纳卡对偶的推广超越经典向量丛表示，即使在经典表示不忠实的情况下也能实现重构。
• 该对偶性对全局商成立，并在弱等价下保持不变，表明其在叠理论语境下的稳健性。