[论文解读] Tannaka-Krein duality for compact groupoids II, Fourier transform

Massoud Amini|ArXiv.org|Aug 27, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文通过发展非交换傅里叶变换并证明关于群胚上 $L^2$-函数的普朗歇尔定理，将坦纳卡-克雷因对偶性推广至紧致群胚。它建立了 $L^2(\tilde{\frak{G}})$ 与 $L^2(\frak{G})$ 之间的等距同构，其中 $\tilde{\frak{G}}$ 是不可约表示的对偶空间，并为在稳定子群胚上的中心函数证明了普朗歇尔定理的对角形式。

ABSTRACT

In a series of papers, we have shown that from the representation theory of a compact groupoid one can reconstruct the groupoid using the procedure similar to the Tannaka-Krein duality for compact groups. In this part we study the Fourier and Fourier-Plancherel transforms and prove the Plancherel theorem for compact groupoids. We also study the central functions in the algebra of square integrable functions on the isotropy groups.

研究动机与目标

• 将傅里叶定理与普朗歇尔定理由紧致群推广至紧致群胚。
• 在巴拿赫代数丛 $L^1(\frak{G})$ 上定义傅里叶变换，并将其扩展至 $L^2(\frak{G})$。
• 在 $L^2(\frak{G})$ 与不可约表示的对偶空间 $L^2(\hat{\frak{G}})$ 之间建立满射等距同构。
• 研究 $L^2(\frak{G})$ 中的中心函数与中心元素，特别是在稳定子群胚 $\frak{G}'$ 上的情形。
• 为共轭类空间 ${\frak{G}'}^{\frak{G}}$ 证明普朗歇尔定理的对角形式。

提出的方法

• 为 $f \in L^1(\mathcal{G}_u^v)$ 定义傅里叶变换 $\mathfrak{F}_{u,v}(f)(\pi) = \int_{\mathcal{G}_u^v} f(x) \pi(x^{-1}) d\lambda_u^v(x)$，映射至 $\mathcal{B}(\mathcal{H}_v^\pi, \mathcal{H}_u^\pi)$。
• 将整体傅里叶变换 $\mathfrak{F}(f)$ 构造为在 $C_0(\hat{\frak{G}}, \mathcal{B}(\mathcal{H}))$ 中的连续截面，且在无穷远处趋于零。
• 为 $g \in C_c(\hat{\frak{G}})$ 定义逆傅里叶变换 $\check{g}$，公式为 $\check{g}(x) = \sum_{\pi \in \hat{\frak{G}}} d_u^\pi g(\pi) \overline{\chi_v^\pi(x)}$。
• 在 $C_c(\hat{\frak{G}})$ 上赋予内积 $\langle g,h \rangle = \sum_{\pi} (d_u^\pi)^2 \overline{g(\pi)} h(\pi)$，以定义希尔伯特空间结构。
• 证明逆傅里叶变换 $\check{}$ 唯一地扩展为从 $L^2(\hat{\frak{G}})$ 到 $L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}})$（即共轭群胚上平方可积函数空间）的等距同构。
• 将 $L^2(\frak{G})$ 中的中心元素表征为在共轭下不变的函数，并证明 $L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}}) \simeq \mathfrak{C}L^2(\frak{G}')$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将傅里叶变换从紧致群推广至紧致群胚？
• RQ2 不可约表示的对偶空间 $\hat{\frak{G}}$ 的结构是什么？它与共轭群胚 $\frak{G}^{\frak{G}}$ 有何关系？
• RQ3 普朗歇尔定理能否推广至紧致群胚？在中心函数情形下其形式如何？
• RQ4 谱测度 $d(\{\pi\}) = (d_u^\pi)^2$ 在对偶性与等距同构中起什么作用？
• RQ5 逆傅里叶变换与普朗歇尔等距同构在中心函数子代数上如何表现？

主要发现

• 傅里叶变换 $\mathfrak{F}_{u,v}(f)$ 定义为将 $f \in L^1(\mathcal{G}_u^v)$ 映射至 $\mathcal{B}(\mathcal{H}_v^\pi, \mathcal{H}_u^\pi)$ 的积分算子，形成 $C_0(\hat{\frak{G}}, \mathcal{B}(\mathcal{H}))$ 中的连续截面。
• 对于 $g \in C_c(\hat{\frak{G}})$，其逆傅里叶变换 $\check{g}$ 满足 $\check{g} * f = f * \check{g}$，表明其与卷积可交换。
• 逆傅里叶变换 $\check{}$ 唯一地扩展为从 $L^2(\hat{\frak{G}})$ 到 $L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}})$（即共轭群胚上平方可积函数空间）的双射线性等距同构。
• 对角普朗歇尔定理成立：$\hat{}: L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}}) \to L^2(\hat{\frak{G}})$ 是 $\check{}$ 的逆，且 $\langle \check{g}, \check{h} \rangle = \langle g, h \rangle$。
• $L^2(\frak{G})$ 中的中心元素空间 $\mathfrak{C}L^2(\frak{G})$ 与 $L^2({\frak{G}'}^{\frak{G}})$ 等距同构，该同构由自然投影 $q: \frak{G}' \to {\frak{G}'}^{\frak{G}}$ 诱导。
• 谱测度 $d(\{\pi\}) = (d_u^\pi)^2$ 用于定义 $C_c(\hat{\frak{G}})$ 上的内积，确保普朗歇尔等距同构保持范数。