[论文解读] Tannaka theory and the FRT construction over non-commutative algebras

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文通过引入代数 $A$ 上的余拟三角左双代数胚，将 FRT 构造推广至非交换代数，建立了关于双单峰和双代数胚的 Tannaka 型对偶性。该文从 $A$-双模范畴中满足 $M$ 关于 $A$ 有限生成且投射的辫子对象 $(M,c)$ 构造双代数胚，证明其相应的余模类别继承了辫子结构，并表明该构造可恢复 Hayashi 的面代数作为 FRT 双代数胚的对偶版本。

ABSTRACT

Let $A$ be an algebra over a commutative ring $k$. We introduce the notion of a coquasitriangular left bialgebroid over $A$ and show that the category of left comodules over such a bialgebroid has a braiding. We also investigate a Tannaka type construction of bimonads and bialgebroids. As an application, the Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan (FRT) construction over the algebra $A$ is established. Our construction associates a coquasitriangular bialgebroid to a braided object $(M, c)$ in the category of $A$-bimodules such that $M$ is finitely generated and projective as a left $A$-module. A Hopf algebroid version of this construction is also provided.

研究动机与目标

• 将 Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan (FRT) 构造推广至非交换基代数 $A$，并利用 Tannaka 对偶性。
• 定义并研究代数 $A$ 上的余拟三角左双代数胚，其余模类别携带辫子结构。
• 从 $A$-双模范畴中满足 $M$ 关于 $A$ 有限生成且投射的辫子对象 $(M,c)$ 出发，建立双单峰和双代数胚的 Tannaka 型构造。
• 证明所构造的双代数胚实现通用 $R$-形式，并恢复已知构造如 Hayashi 的面代数。

提出的方法

• 引入构造数据 $(\mathcal{D}, \omega)$，其中 $\mathcal{D}$ 为一个小的张量范畴，$\omega: \mathcal{D} \to {}_A\mathfrak{M}_A$ 为强张量函子，且对所有 $x \in \mathcal{D}$，$\omega(x)$ 具有右对偶。
• 对 $M \in {}_A\mathfrak{M}_A$ 定义函子 $T(M) = \int^{x \in \mathcal{D}} \omega(x) \otimes M \otimes \omega(x)^\vee$，其可延拓为 ${}_A\mathfrak{M}_A$ 上的双单峰。
• 使用 Tannaka 风格的重构方法为 $T$ 赋予双单峰结构，证明 $T$-余模与从 $T$-模到 ${}_A\mathfrak{M}_A$ 的遗忘函子的左 lax 中心理论同构。
• 将 FRT 双代数胚 $H(M,c)$ 构造为自由 $A^e$-环 $T_{A^e}(G)$ 的商，其生成元为 $T^p_q, \overline{T}^p_q$，模关系编码了辫子 $c$。
• 通过保持余环结构的代数同构，将所得双代数胚与 Hayashi 面代数 $\mathrm{Hc}(\mathfrak{A}(w))$ 的对偶版本识别。
• 验证 $H(M,c)$ 上的通用 $R$-形式在 $H(M,c)$-余模类别上诱导出 lax 辫子，确保该类别为辫子类别。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持余模类别辫子结构的前提下，将 FRT 构造推广至非交换基代数 $A$？
• RQ2 是否存在一种 Tannaka 型构造，可从 ${}_A\mathfrak{M}_A$ 中满足 $M$ 关于 $A$ 有限生成且投射的辫子对象 $(M,c)$ 恢复出双代数胚？
• RQ3 在由此类辫子对象构造的 FRT 双代数胚上是否存在通用 $R$-形式，以确保其余模类别为辫子类别？
• RQ4 在路径奎瓦与可对偶辫子对象的情形下，FRT 双代数胚与 Hayashi 面代数之间有何关系？

主要发现

• Tannaka 构造产生一个 ${}_A\mathfrak{M}_A$ 上的双单峰 $T$，使得 $T$-余模类别与从 $T$-模到 ${}_A\mathfrak{M}_A$ 的遗忘函子的左 lax 中心理论同构。
• 若 $\mathcal{D}$ 为右刚性，则 $T$ 为左霍普夫单峰；若 $\mathcal{D}$ 为左刚性，则 $T$ 为右霍普夫单峰。
• 若 $\mathcal{D}$ 允许 lax 辫子，则 $T$-余模类别继承 lax 辫子。
• FRT 双代数胚 $H(M,c)$ 构造为 $T_{A^e}(G)$ 关于编码辫子 $c$ 的关系的商，其携带通用 $R$-形式，使其余模类别为辫子类别。
• FRT 双代数胚 $H(M,c)$ 作为左双代数胚，与 Hayashi 面代数 $\mathrm{Hc}(\mathfrak{A}(w))$ 的对偶同构。
• 该构造将原始辫子 $c$ 恢复为 $H(M,c)$ 上的通用 $R$-形式，确保 $M$ 为 $H(M,c)$-余模的典范结构，且 $c$ 为诱导出的辫子。