[论文解读] Tannakian Categories attached to abelian Varieties

Rainer Weissauer|ArXiv.org|Apr 10, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文从阿贝尔簇 $X$ 上的 $\overline{\mathbb{Q}}_l$-层的导出范畴模去平移不变复形，构造了一个超-坦纳卡范畴，并证明了在卷积下封闭的复形（即‘乘子’）的范畴构成一个刚性、半单的张量范畴，与一个概超群 $G(X)$ 的表示范畴等价。关键结果表明，对于一个主极化阿贝尔簇，其 $G(X,Y)$ 同构于 $Sp(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}[2]$ 或 $Sl(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}$，将坦纳卡群与雅可比簇的几何联系起来。

ABSTRACT

Starting from certain perverse sheaves on an abelian variety, including the intersection cohomology sheaves of curves and smooth ample divisors, we construct a semisimple super-Tannakian category.

研究动机与目标

• 从阿贝尔簇上 $\overline{\mathbb{Q}}_l$-层的导出范畴模去平移不变复形，构造一个坦纳卡范畴。
• 将卷积下封闭的复形（即‘乘子’）的范畴识别为一个刚性、半单的张量范畴。
• 证明主极化阿贝尔簇上乘子范畴的坦纳卡群同构于 $Sp(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}[2]$ 或 $Sl(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}$，具体取决于曲线的双曲性。
• 猜想：一个主极化阿贝尔簇是雅可比簇当且仅当其坦纳卡群是上述两个群之一。

提出的方法

• 通过商去平移不变复形，定义商范畴 $\overline{D}_{c}^{b}(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$。
• 引入‘乘子’的概念：指其卷积保持商范畴 $\overline{Perv}(X)$ 不变的 perverse 层。
• 证明乘子范畴 $\overline{M}(X)$ 是一个刚性、半单的 $\overline{\mathbb{Q}}_l$-线性张量范畴。
• 利用纤维函子 $\omega$，将 $\overline{M}(X)$ 实现为一个概超群 $G(X)$ 的表示范畴。
• 应用坦纳卡形式理论，证明 $\overline{M}(X)$ 同构于 $Rep(G(X), \varepsilon)$，其中 $G(X)$ 是超群的投影极限。
• 对于主极化 $Y$，计算由 $\delta_Y$ 生成的子范畴的坦纳卡群 $G(X,Y)$，证明其同构于 $Sp(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}[2]$ 或 $Sl(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，阿贝尔簇上乘子范畴的坦纳卡群同构于 $Sp(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}[2]$ 或 $Sl(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}$？
• RQ2 阿贝尔簇 $X$ 中的除子 $Y$ 满足什么条件时是乘子，即在商范畴中对卷积封闭？
• RQ3 主极化阿贝尔簇的坦纳卡群 $G(X,Y)$ 如何与对应曲线的几何相关联？
• RQ4 坦纳卡群 $G(X,Y)$ 是否能唯一刻画该阿贝尔簇为某条曲线的雅可比簇？
• RQ5 在特征零或正特征下，权过滤与纯性在阿贝尔簇的坦纳卡范畴构造中起什么作用？

主要发现

• 阿贝尔簇 $X$ 上乘子范畴 $\overline{M}(X)$ 是一个刚性、半单的 $\overline{\mathbb{Q}}_l$-线性张量范畴，与一个概超群 $G(X)$ 的表示范畴等价。
• 对于主极化 $Y$，坦纳卡群 $G(X,Y)$ 同构于 $Sp(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}[2]$（若对应曲线为双曲曲线），否则同构于 $Sl(2g-2,\overline{\mathbb{Q}}_l)/\mu_{g-1}$。
• $G(X,Y)$ 的表示 $W = \omega(\delta_Y)$ 是 $G(X,Y)$ 的标准表示的 $(g-1)$-阶外幂中唯一的最高权不可约表示。
• 光滑充分线性系 $Y$ 的上同调等值层 $\delta_Y$ 是乘子，且其卷积保持商范畴 $\overline{Perv}(X)$ 不变。
• $\overline{D}_{c}^{b}(X,\overline{\mathbb{Q}}_l)$ 上的卷积乘积是良定义的，并尊重张量结构，从而支持坦纳卡形式理论的应用。
• 该猜想得到支持，因为坦纳卡群 $G(X,Y)$ 与已知的雅可比簇群一致，提示可通过坦纳卡群表征雅可比簇。