[论文解读] Tapering off qubits to simulate fermionic Hamiltonians

Sergey Bravyi, Jay Gambetta+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 36被引用 185

一句话总结

本文开发了利用对称性实现量子比特高效编码以对费米系统进行模拟的方案，采用一阶和二阶量子化方法以及基于 LDPC 的稀疏化技术，使变分量子算法的量子比特需求降低。

ABSTRACT

We discuss encodings of fermionic many-body systems by qubits in the presence of symmetries. Such encodings eliminate redundant degrees of freedom in a way that preserves a simple structure of the system Hamiltonian enabling quantum simulations with fewer qubits. First we consider $U(1)$ symmetry describing the particle number conservation. Using a previously known encoding based on the first quantization method a system of $M$ fermi modes with $N$ particles can be simulated on a quantum computer with $Q=N\log{(M)}$ qubits. We propose a new version of this encoding tailored to variational quantum algorithms. Also we show how to improve sparsity of the simulator Hamiltonian using orthogonal arrays. Next we consider encodings based on the second quantization method. It is shown that encodings with a given filling fraction $ν=N/M$ and a qubit-per-mode ratio $η=Q/M<1$ can be constructed from efficiently decodable classical LDPC codes with the relative distance $2ν$ and the encoding rate $1-η$. A family of codes based on high-girth bipartite graphs is discussed. Graph-based encodings eliminate roughly $M/N$ qubits. Finally we consider discrete symmetries, and show how to eliminate qubits using previously known encodings, illustrating the technique for simple molecular-type Hamiltonians.

研究动机与目标

• 通过利用如粒子数守恒等对称性，在量子硬件上实现费米系统高效仿真的动机。
• 发展能够在保持可控哈密顿结构的前提下，减少所需量子比特数量的编码。
• 提供系统化的方法来构建稀疏化模拟器，以使实际的变分量子算法成为可能。
• 探索基于一阶与二阶量子化的编码并分析它们的可扩展性与适用性。

提出的方法

• 将编码定义为从 N 粒子目标空间到 Q 量子比特模拟器空间的等距离映射，并要求 H_sim E = E H_tgt，且代码子空间中存在一个基态。
• 对于一阶量子化，构建一个稀疏的反对称的一阶量子化模拟哈密顿量 H_sim = T + U + g H^⊥，并加入惩罚项以强制反对称性。
• 使用 Rao-Hamming 正交阵列将 H_sim 分解为 r 个稀疏、基对角的项，r ≈ 9^m（m = log2 M），以实现高效测量。
• 证明在代码子空间中，通过 Schur 对偶性，H_sim 的基态能量与目标基态能量相匹配，从而通过受控的 g 来界定范数。
• 对于二阶量子化，从高效可解码的经典 LDPC 码构建编码，给出量子比特/模数比 η 与填充 ν，从而实现具界限范数的稀疏模拟器。
• 讨论 Z2 对称性以及如何使用基于奇偶校验的编码来移除量子比特，并以简单分子哈密顿量为例进行说明。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在费米系统的量子仿真中削减量子比特数量，同时保持 H_tgt 的低能谱？
• RQ2 哪些对称性（例如粒子数、Z2 奇偶性）可以被利用来在不破坏哈密顿结构的前提下减少量子比特？
• RQ3 对于给定的填充率和量子比特预算，模拟器哈密顿量可以被做得有多稀疏？
• RQ4 哪些编码理论构造（LDPC、高边界图）能够为费米系统仿真提供实际、易于解码的编码？
• RQ5 一阶量子化与二阶量子化编码在适用性和稀疏性方面在变分算法上有何比较？

主要发现

• 一个稀疏的一阶量子化类编码，使用 Q = N log2(M) 量子比特，在小 N 时可将模拟器稀疏度 r ≤ 9 M^3.17，从而实现减少量子比特使用。
• 基于 LDPC 码的二阶量子化编码在某些界限下可实现 η = Q/M < 1、ν = N/M，进而实现量子比特按 M/N 比例下降，若 ν < 1/4。
• 具有高生长二部图的图形 LDPC 编码可以消除大约 M/N 个量子比特，并对某些算子给出 2-sparse 二体和 32-sparse 四体模拟器。
• Z2 对称性（奇偶性）可用于系统性地消除量子比特，在分子类型哈密顿量上有例证。
• 一阶量子化编码提供了最佳的量子比特减少，但仅限于小 N；而二阶量子化编码应用更广、并产生更稀疏的模拟器。