[论文解读] Target search by active particles

Urna Basu, Sanjib Sabhapandit+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2023

Diffusion and Search Dynamics被引用 4

一句话总结

本文通过使用带有色噪声的过阻尼朗之万方程来建模自推进力，研究了主动粒子（跑动-翻滚、活性布朗运动及方向反转活性布朗运动粒子）的目标搜索动力学。推导出首次通过概率和存活概率的精确表达式，表明重置可使平均首次通过时间有限，并揭示在长时间极限下，方向反转活性布朗运动粒子的持续性指数为 α=1。

ABSTRACT

Active particles, which are self-propelled nonequilibrium systems, are modelled by overdamped Langevin equations with colored noise, emulating the self-propulsion. In this chapter, we present a review of the theoretical results for the target search problem of these particles. We focus on three most well-known models, namely, run-and-tumble particles, active Brownian particles, and direction reversing active Brownian particles, which differ in their self-propulsion dynamics. For each of these models, we discuss the first-passage and survival probabilities in the presence of an absorbing target. We also discuss how resetting helps the active particles find targets in a finite time.

研究动机与目标

• 理解具有持续运动的主动粒子在随机环境中的目标搜索机制。
• 分析三种关键主动粒子模型（跑动-翻滚、活性布朗运动、方向反转活性布朗运动粒子）的首次通过概率与存活概率。
• 研究随机重置对非马尔可夫主动搜索过程中平均首次通过时间的影响。
• 利用拉普拉斯变换与反变换，推导存活概率与首次通过时间分布的精确解析表达式。
• 确定长时间极限下的持续性指数 α，并识别存活概率中的标度行为。

提出的方法

• 通过带有色噪声的过阻尼朗之万方程建模主动粒子，以捕捉自推进动力学。
• 使用拉普拉斯变换求解位置分布的福克-普朗克方程，从而推导存活概率与首次通过时间概率。
• 应用反拉普拉斯变换技术，包括在复 s 平面上的留数计算，以获得时域解。
• 识别拉普拉斯变换后的位置分布中的奇点，并通过计算留数将解表示为指数项之和。
• 使用特殊函数（如合并超几何函数与伽马函数）表达精确的标度形式。
• 推导出以标度形式表示的存活概率，显示其对 $ y_0 / (4\tilde{\Lambda}t) $ 的依赖关系，并提取大时间下的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在吸收目标的情况下，跑动-翻滚、活性布朗运动及方向反转活性布朗运动粒子的首次通过概率与存活概率如何演化？
• RQ2 随机重置对主动粒子搜索过程中平均首次通过时间有何影响？
• RQ3 方向反转活性布朗运动粒子在长时间极限下的持续性指数 α 是多少？其与布朗运动相比有何差异？
• RQ4 能否在非马尔可夫主动搜索模型中推导出首次通过时间分布与存活概率的精确解析表达式？
• RQ5 在长时间极限下，存活概率如何随时间与初始距离目标的距离变化而标度？

主要发现

• 方向反转活性布朗运动粒子的存活概率在长时间下衰减为 $ S_y(t; y_0) \to \frac{\text{const}}{t} $，表明持续性指数 α = 1。
• 首次通过时间分布的精确表达式为 $ F_y(t; y_0) = \frac{y_0 \tilde{\gamma}^{3/2}}{v_0^3 t^2 \tilde{D}_R^{1/2}} f\big( \frac{y_0}{v_0 t} \tilde{\gamma}^{1/2} / (8 \tilde{D}_R)^{1/2} \big) $，其中 $ f(z) $ 通过伽马函数定义。
• 存活概率表现出标度形式 $ S_y(t; y_0) = g\big( y_0 / (4\tilde{\Lambda}t) \big) $，其中 $ g(z_0) = 2 \tilde{\int}_0^{z_0} dz f(z) $，且 $ f(z) $ 以伽马函数表示。
• 在 $ \gamma^{-1} \ll t \ll D_R^{-1} $ 的区域，存活概率衰减为 $ S_y(t; y_0) \sim \frac{\Gamma(1/4)^2}{2\pi^{3/2}} \sqrt{\frac{\gamma}{D_R}} \frac{y_0}{v_0 t} $，确认了幂律衰减且指数为 α = 1。
• 在随机重置下，平均首次通过时间变为有限值，且存在一个最优重置速率可最小化平均搜索时间。
• 位置分布的精确解表示为 $ P(y,t;y_0) = \frac{1}{4\tilde{\Lambda}t} \big[ f\big( \frac{y-y_0}{4\tilde{\Lambda}t} \big) - f\big( \frac{y+y_0}{4\tilde{\Lambda}t} \big) \big] $，其中 $ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi^3}} \Gamma(\frac{1}{4} + iz) \Gamma(\frac{1}{4} - iz) $。