[论文解读] Tate cohomology of circle actions as a Heisenberg group

Jack Morava|ArXiv.org|Feb 16, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过 Madsen-Tillmann 空间 ${\mathbb{C}}P^\infty_{-1}$ 将圆作用的 Tate 上同调识别为具有 Heisenberg 群结构的对称形式，该形式在 Kontsevich-Witten 拓扑重力中的 Virasoro 代数作用下具有基础意义。关键结果是将 Virasoro 代数的 Fock 表示实现为 $H{\mathbb{Z}}$ 的 Tate 上同调上的模，其自同构通过 $\sqrt{x}$ 的幂零洛朗级数实现，从而将等变拓扑与量子上同调及模空间不变量联系起来。

ABSTRACT

We study the Madsen-Tillman spectrum \CP^\infty_{-1} as a quotient of the Mahowald pro-object \CP^\infty_{-\infty}, which is closely related to the Tate cohomology of circle actions. That theory has an associated symplectic structure, whose symmetries define the Virasoro operations on the cohomology of moduli space constructed by Kontsevich and Witten.

研究动机与目标

• 理解圆作用的 Tate 上同调作为具有内在极化性的辛模。
• 将该上同调的自同构群识别为通过 $\sqrt{x}$ 的幂零洛朗级数实现的 Heisenberg 型群。
• 将该结构与 Kontsevich-Witten 拓扑重力中的 Virasoro 代数作用及量子上同调联系起来。
• 通过 Madsen-Tillmann 空间 $\mathbb{C}P^\infty_{-1}$ 几何实现 Virasoro 代数的 Fock 表示。
• 将该框架推广至 $r$-自旋结构和 $p$-完备化上同调，暗示模空间理论中更深层的等变结构。

提出的方法

• 将 Tate 上同调 $t^*_{\mathbb{T}}E$ 构造为 Mahowald 逆系对象 $\mathbb{C}P^\infty_{-\infty}$ 的商，将其实现为 $E \wedge S^2 \mathbb{C}P^\infty_{-\infty}$。
• 将 $\tau^*_{\mathbb{T}}E$ 识别为 $\mathbb{C}P^\infty_{-1}$ 的 $E$-同调，存在从 $t^*_{\mathbb{T}}E$ 到 $\tau^*_{\mathbb{T}}E$ 的截断映射。
• 通过留数配对 $\{f,g\} = \mathrm{res}_{e=0}(I(f)g\,de)$ 在 $t^*_{\mathbb{T}}H{\mathbb{Z}}$ 上定义一个辛形式，其中 $I(f) = f^{-1}$。
• 将 $\check{\mathbb{G}}^{-}_{1/2}$（即 $\sqrt{x}$ 的可逆奇数幂零洛朗级数群）实现为 $t^*_{\mathbb{T}}H{\mathbb{Q}}$ 上的辛自同构。
• 构造从曲面模空间到 $\Omega^\infty \mathbb{C}P^\infty_{-1}$ 的映射，与黏合兼容，并将其提升为到 $MU$-理论的乘法变换。
• 利用形式群律和留数微积分，将 Tate 上同调序列中的边界映射定义为形式留数 $\mathrm{res}(f\,d\log_E)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 圆作用在流形上的 Tate 上同调如何实现 Heisenberg 群结构？
• RQ2 Madsen-Tillmann 空间 $\mathbb{C}P^\infty_{-1}$ 在实现 Virasoro 代数的 Fock 表示中起什么作用？
• RQ3 Tate 上同调的辛自同构如何与拓扑重力中的 Virasoro 算子相关联？
• RQ4 能否通过等变环路空间几何地解释 $t^*_{\mathbb{T}}H{\mathbb{Z}}$ 上的极化与对合？
• RQ5 该框架如何推广至 $r$-自旋结构和 $p$-完备化上同调理论？

主要发现

• Tate 上同调 $t^*_{\mathbb{T}}H{\mathbb{Z}}$ 携带一个非退化的辛形式 $\{f,g\} = \mathrm{res}_{e=0}(I(f)g\,de)$，使其成为一个具有典范极化的辛模。
• $\sqrt{x}$ 的可逆奇数幂零洛朗级数群 $\check{\mathbb{G}}^{-}_{1/2}$ 作为 $t^*_{\mathbb{T}}H{\mathbb{Q}}$ 上的辛自同构作用，实现了 Heisenberg 群结构。
• Madsen-Tillmann 映射 $\coprod_g B\mathrm{Diff}(F_g) \to \Omega^\infty \mathbb{C}P^\infty_{-1}$ 提升为从 $Q(\mathbb{C}P^\infty_+)$ 的有理同调到 $MU$-理论的乘法变换 $\tilde{\Phi}_*$，并引入形式变量。
• Witten tau 函数是 $\tilde{\Phi}_*$ 下基本类 $[Q(\coprod \overline{\mathcal{M}}_g)]$ 的像，且在 Virasoro 子代数 $L_k$（$k \geq -1$）下不变。
• 量子上同调中的极化 $I_{\text{Giv}} = e^{\frac{1}{2}H} e^{-E} I e^{E} e^{-\frac{1}{2}H}$ 被猜想源于 $X$ 的自由环路空间的等变几何。
• 对于素数 $r = p$，$t^*_{\mathbb{T}}H{\mathbb{Z}}_p$ 的 $p$-完备化允许与 $\mu_p$ 作用相容的分解，且在 $p$-完备化后有 $Th(-\eta^p) \simeq Th(-\eta^{up})$，暗示了 $r$-自旋结构的广义 Madsen-Tillmann 理论。