[论文解读] Tate module tensor decompositions and the Sato-Tate conjecture for certain abelian varieties potentially of $\mathrm{GL}_2$-type

Francesc Fité, Xavier Guitart|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文建立了数域上几何同构的阿贝尔簇的ℓ-进塔特定模的张量分解，特别是那些可能为GL₂型的阿贝尔簇。通过利用伽罗瓦理论与上同调技术，本文在某些条件下证明了此类簇的Sato–Tate猜想，包括当自同态代数为二次域上四元数代数时，或当关联的模形式阿贝尔簇满足其模形式域的度数约束时。

ABSTRACT

We introduce a tensor decomposition of the $\ell$-adic Tate module of an abelian variety $A_0$ defined over a number field which is geometrically isotypic. If $A_0$ is potentially of $\GL_2$-type and defined over a totally real number field, we use this decomposition to describe its Sato--Tate group and to prove the Sato--Tate conjecture in certain cases.

研究动机与目标

• 为数域上几何同构的阿贝尔簇的ℓ-进塔特定模发展一种通用的张量分解方法。
• 利用该分解描述可能为GL₂型的阿贝尔簇的Sato–Tate群。
• 通过将猜想与自守L函数及相容系统联系起来，证明Sato–Tate猜想在新情形下的成立。
• 将已知的模形式阿贝尔簇结果推广至具有四元数乘法或实乘法的高维情形。
• 统一并推广文献中既有的构造，特别是Taylor与Fitfi对QM和CM阿贝尔曲面的研究。

提出的方法

• 在有限伽罗瓦扩张k/k₀上，将塔特定模构造为Artin表示与ℓ-进表示张量积的和的张量分解。
• 利用伽罗瓦上同调分析将射影表示提升为真实表示的障碍，表明其为H²(Gk, M×)中的逆类。
• 应用Wu关于在完全实域上可能为GL₂型的阿贝尔簇的相容ℓ-进表示系统理论。
• 利用基变换与下降技术，将相容系统中的自守性性质传递至对称幂与扭形式。
• 应用Brauer的归纳定理及关于非同构基变换系统的结果，证明部分L函数的全纯性与非零性。
• 借助潜在自守性定理（例如BLGGT14）验证Sato–Tate猜想等分布性所要求的解析性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 几何同构的阿贝尔簇的塔特定模能否分解为Artin表示与相容ℓ-进表示系统之张量积的形式？
• RQ2 在无复乘的情况下，Sato–Tate猜想在何种条件下对可能为GL₂型的阿贝尔簇成立？
• RQ3 如何从自同态代数与伽罗瓦作用显式确定Sato–Tate群？
• RQ4 模形式域在关联L函数的自守性与解析行为中起何种作用？
• RQ5 Sato–Tate猜想在何种程度上可推广至具有四元数乘法或实乘法的高维模形式阿贝尔簇？

主要发现

• 数域k₀上一个单个且几何同构的阿贝尔簇A₀的ℓ-进塔特定模，可在有限伽罗瓦扩张k/k₀上分解为ℓ-进表示与Artin表示张量积的和。
• 当A₀在完全实域上可能为GL₂型且无潜在复乘时，Sato–Tate群由张量分解与伽罗瓦群作用决定。
• 若模形式域K₀/k₀是可解的，则当自同态代数为二次域上四元数代数时，Sato–Tate猜想得证。
• 对于权为2、导子为N的非CM新形式f所关联的模形式阿贝尔簇，若场Mf = Q({a²ₘ/ε(m)})在Q上的次数至多为2，则Sato–Tate猜想成立。
• 此类新形式f经狄利克雷特征扭后，场Mf保持不变，因此Sato–Tate猜想可推广至任意高维的阿贝尔簇。
• 通过对称幂与特征函数关联的部分L函数的解析性质，通过基变换、下降与Brauer归纳法得以确立，确保其全纯性与非零性。