[论文解读] Tate Objects in Exact Categories (with appendix by Jan \vS\vtov\'ı\vcek and Jan Trlifaj)

Oliver Bräunling, Michael Groechenig+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 11

一句话总结

本文为精确范畴中的Tate对象构建了一个范畴框架，推广了无穷维向量空间和代数几何中的局部域。它将初等Tate对象表征为在扩张下封闭且包含可接受的Ind-与Pro-对象的最小子范畴，并建立了Sato Grassmannian与n-Tate模的基础性质，附录中指出平坦Mittag-Leffler模是有限生成投射模上可接受Ind-对象的幂等完备化。

ABSTRACT

We study elementary Tate objects in an exact category. We characterize the category of elementary Tate objects as the smallest sub-category of admissible Ind-Pro objects which contains the categories of admissible Ind-objects and admissible Pro-objects, and which is closed under extensions. We compare Beilinson's approach to Tate modules to Drinfeld's. We establish several properties of the Sato Grassmannian of an elementary Tate object in an idempotent complete exact category (e.g. it is a directed poset). We conclude with a brief treatment of n-Tate modules and n-dimensional adèles. An appendix due to J. \vS\vtov\'ı\vcek and J. Trlifaj identifies the category of flat Mittag-Leffler modules with the idempotent completion of the category of admissible Ind-objects in the category of finitely generated projective modules.

研究动机与目标

• 在任意精确范畴中发展Tate对象的范畴框架，推广代数几何与数论中的经典构造。
• 将初等Tate对象表征为在扩张下封闭且包含可接受的Ind-与Pro-对象的最小子范畴。
• 在幂等完备的精确范畴中，建立初等Tate对象的Sato Grassmannian的基础性质。
• 将理论推广至n-Tate对象，并将其与Beilinson–Parshin局部域及高维局部域联系起来。
• 将平坦Mittag-Leffler模的范畴识别为有限生成投射模上可接受Ind-对象的幂等完备化。

提出的方法

• 利用精确范畴中的Ind-对象与Pro-对象形式化，以刻画离散、线性紧致及局部线性紧致对象。
• 通过带分裂单射或满射的有向系统中的滤子余极限与极限，引入可接受的Ind-与Pro-对象。
• 将初等Tate对象定义为可接受Pro-对象到可接受Ind-对象的扩张，且在扩张下封闭。
• 应用左正合预层理论与基数算术，处理非交换设定中的大余极限与极限。
• 在幂等完备的精确范畴中，将Sato Grassmannian建立为有向偏序集。
• 利用附录证明，通过Eilenberg技巧与超限扩张技术，平坦Mittag-Leffler模是Inda(Pf(R))的幂等完备化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在任意精确范畴中系统地定义Tate对象，以推广代数几何中的经典构造？
• RQ2 初等Tate对象在扩张封闭性与Ind-与Pro-对象包含性方面的范畴表征是什么？
• RQ3 在幂等完备的精确范畴中，初等Tate对象的Sato Grassmannian如何表现？
• RQ4 n-Tate对象与高维局部域之间存在何种关系，特别是在Beilinson–Parshin框架下？
• RQ5 平坦Mittag-Leffler模在有限生成投射模的ind-对象范畴中的精确范畴描述是什么？

主要发现

• 在精确范畴中，初等Tate对象可表征为包含可接受Ind-与Pro-对象且在扩张下封闭的最小全子范畴。
• 在幂等完备的精确范畴中，初等Tate对象的Sato Grassmannian是一个有向偏序集。
• 对环R，平坦Mittag-Leffler模的范畴与有限生成投射R-模上可接受Ind-对象范畴的幂等完备化等价。
• 当R不是右完美环时，存在Cκ+中非投射的κ+-生成模，其典范表示不分解，表明在不可数基数下，Inda(C)中的短正合列可能不分解。
• 平坦Mittag-Leffler模的范畴FM(R)在超限扩张下封闭，但无法从其元素的任意集合通过此类构造获得，表明其在非完美设定下的复杂性。
• 对每个无限基数κ，存在一个非投射模Mκ+ ∈ Cκ+，其在Cκ+中的典范表示不分解，展示了不可数设定下分解失败的现象。