[论文解读] Tau function and Virasoro action for the nxn KdV hierarchy

Chuu-Lian Terng, Karen Uhlenbeck|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过证明 $\ln\tau_f$ 的二阶偏导数可重构形式逆散射解 $u_f$，且 $\ln\tau_f$ 上的自然 Virasoro 作用可通过偏微分算子实现，建立了 $n\times n$ KdV 层的几何框架。此外，本文证明了 $n\times n$ KdV 层与 Gelfand-Dickey (GD$_n$) 层之间存在双射关系，表明在该等价关系下，两个层上的 Virasoro 作用相互对应。

ABSTRACT

This is the third in a series of papers attempting to describe a uniform geometric framework in which many integrable systems can be placed. A soliton hierarchy can be constructed from a splitting of an infinite dimensional group $L$ as positive and negative subgroups L_+, L_- and a commuting sequence in the Lie algebra of L_+. Given f in L_-, there is a formal inverse scattering solution u_f of the hierarchy. When there is a 2 co-cycle that vanishes on both subalgebras of L_+ and L_-, Wilson constructed for each f in L_- a tau function tau_f for the hierarchy. In this third paper, we prove the following results for the nxn KdV hierarchy: (1) The second partials of ln(tau_f) are differential polynomials of the formal inverse scattering solution u_f. Moreover, u_f can be recovered from the second partials of ln(tau_f). (2) The natural Virasoro action on ln(tau_f) constructed in the second paper is given by partial differential operators in ln(tau_f). (3) There is a bijection between phase spaces of the nxn KdV hierarchy and the Gelfand-Dickey (GD_n) hierarchy on the space of order n linear differential operators on the line so that the flows in these two hierarchies correspond under the bijection. (4) Our Virasoro action on the nxn KdV hierarchy is constructed from a simple Virasoro action on the negative group. We show that it corresponds to the known Virasoro action on the GD_n hierarchy under the bijection.

研究动机与目标

• 建立可积系统（特别是 $n\times n$ KdV 层）的统一几何框架。
• 证明形式逆散射解 $u_f$ 可从 $\ln\tau_f$ 的二阶偏导数重构。
• 表明 $\ln\tau_f$ 上的自然 Virasoro 作用可表示为一组偏微分算子。
• 在 $n\times n$ KdV 层的相空间与 $n$ 阶线性微分算子空间之间建立双射关系，将其与 Gelfand-Dickey (GD$_n$) 层联系起来。
• 证明在该双射关系下，$n\times n$ KdV 层上的 Virasoro 作用与 GD$_n$ 层上已知的 Virasoro 作用相对应。

提出的方法

• 将环群 $L(SL(n,\mathbb{C}))$ 分解为正负子群 $L_+$ 和 $L_-$，并分别关联其李代数 $\mathcal{L}_+$ 和 $\mathcal{L}_-$。
• 利用在 $\mathcal{L}_+$ 和 $\mathcal{L}_-$ 上均消失的 2-上循环，应用 Wilson 构造方法，为 $f \in L_-$ 构造 tau 函数 $\tau_f$。
• 通过规范等价与 Drinfeld-Sokolov 商流，将 $n\times n$ KdV 层与 Gelfand-Dickey 层联系起来。
• 构造规范作用的截面，并定义截面流以分析层的结构。
• 利用约化框架和 Virasoro代数在约化框架 $M$ 上的作用，推导 $\ln\tau_f$ 上的 Virasoro 向量场。
• 通过双射 $\hat{\Psi}$ 建立 $n\times n$ KdV 层与 GD$_n$ 层之间的对应关系，并证明诱导的 Virasoro 作用在此映射下一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 形式逆散射解 $u_f$ 是否可从 $\ln\tau_f$ 的二阶偏导数重构？
• RQ2 $\ln\tau_f$ 上的自然 Virasoro 作用是否可表示为一组偏微分算子？
• RQ3 是否存在 $n\times n$ KdV 层相空间与 $n$ 阶线性微分算子空间之间的双射，使得两者的流相对应？
• RQ4 在该双射关系下，$n\times n$ KdV 层上的 Virasoro 作用是否与 GD$_n$ 层上已知的 Virasoro 作用相对应？
• RQ5 $n\times n$ KdV 层上的 Virasoro 作用如何从负群 $L_-$ 的作用推导而来？

主要发现

• $\ln\tau_f$ 的二阶偏导数是形式逆散射解 $u_f$ 的微分多项式，且 $u_f$ 可完全由这些导数恢复。
• $\ln\tau_f$ 上的自然 Virasoro 作用可实现为作用于 $\ln\tau_f$ 的一组偏微分算子，确认了其几何实现性。
• $n\times n$ KdV 层的相空间与 $n$ 阶线性微分算子空间之间存在一个典范双射，在此双射下，两个层的流相互对应。
• $n\times n$ KdV 层与 Gelfand-Dickey (GD$_n$) 层之间是规范等价的，且一种层的解可算法地转化为另一种层的解。
• $n\times n$ KdV 层上的 Virasoro 作用，由负群作用构造而来，经双射 $\hat{\Psi}$ 映射后，恰好与 GD$_n$ 层上已知的 Virasoro 作用相对应。
• 约化框架 $M$ 上的 Virasoro 向量场由 $\hat{\Gamma}$ 的作用导出，其结果表达式与 GD$_n$ 层已知的 Virasoro 作用形式一致。