[论文解读] Tau-function on Hurwitz spaces

Alexey Kokotov, D. Korotkin|ArXiv.org|Feb 25, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 6

一句话总结

该论文利用不变的 Wirtinger 项目化联络，在黎曼球面的分支覆盖的 Hurwitz 空间上构造了一个平坦全纯线丛，即‘Wirtinger 线丛’。它定义了一个全纯水平截面——‘Wirtinger tau-函数’，并在亏格 0 和 1 时给出了其显式公式，同时利用 Fuchsian 和 Schottky 参数化方法计算了高亏格下该 tau-函数的模平方。

ABSTRACT

We construct a flat holomorphic line bundle over a connected component of the Hurwitz space of branched coverings of the Riemann sphere. A flat holomorphic connection defining the bundle is described in terms of the invariant Wirtinger projective connection on the branched covering corresponding to a given meromorphic function on a Riemann surface. In genera 0 and 1 we construct a nowhere vanishing holomorphic horizontal section of this bundle (the ``Wirtinger tau-function''). In higher genus we compute the modulus square of the Wirtinger tau-function.

研究动机与目标

• 在黎曼球面分支覆盖的 Hurwitz 空间的连通分支上定义一个平坦全纯线丛。
• 在覆盖曲面上利用不变的 Wirtinger 项目化联络构造一个平坦全纯联络。
• 在亏格 0 和 1 时识别并计算一个处处非零的全纯水平截面（即 Wirtinger tau-函数）。
• 利用统一化技术计算高亏格下 Wirtinger tau-函数的模平方。
• 将 Wirtinger tau-函数与通过 Bergmann 项目化联络定义的 Bergmann tau-函数进行比较，并将两者与微分算子的行列式联系起来。

提出的方法

• 在穿孔的 Hurwitz 空间 $ H'_{g,N}(1,\dots,1) $ 上引入一个平坦联络 $ d_W = d - \nabla \theta $，其联络系数为 $ \mathcal{A}_m = -\frac{1}{12} S_W(x_m)|_{x_m=0} $，其中 $ S_W $ 为 Wirtinger 项目化联络。
• 将‘Wirtinger 线丛’ $ \mathcal{T}_W $ 定义为与该联络相关的平坦全纯线丛。
• 在亏格 0 和 1 时，通过‘全纯分解’推导出 Wirtinger tau-函数的显式闭式表达。
• 在高亏格下，利用 Fuchsian 统一化中的正则化 Liouville 作用量计算 Wirtinger tau-函数的模平方：$ |\tau_W|^2 = e^{-\mathbb{S}_{\text{Fuchs}}/6} \frac{\det \Delta}{\det \Im \mathbb{B}} \prod_{\beta \text{ even}} |\Theta[\beta](0|\mathbb{B})|^{-\frac{2}{4^{g-1}+2^{g-2}}} $。
• 提供一种基于 Schottky 统一化的替代表达式：$ |\tau_W|^2 = e^{-\mathbb{S}_{\text{Schottky}}/6} |\det \bar{\partial}|^2 \prod_{\beta \text{ even}} |\Theta[\beta](0|\mathbb{B})|^{-\frac{2}{4^{g-1}+2^{g-2}}} $。
• 将 Wirtinger 与 Bergmann tau-函数进行比较，指出后者依赖于典范同调基，且仅在 Hurwitz 空间的覆盖上全局定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用几何不变量在 P¹ 的分支覆盖 Hurwitz 空间上自然构造一个平坦全纯线丛？
• RQ2 该丛的全纯水平截面（tau-函数）在亏格 0 和 1 时的显式形式是什么？
• RQ3 如何利用统一化理论表达高亏格下 Wirtinger tau-函数的模平方？
• RQ4 在旋量线丛的背景下，Wirtinger tau-函数与 Cauchy-Riemann 算子行列式之间有何关系？
• RQ5 Wirtinger 与 Bergmann tau-函数在几何与分析性质上如何不同，特别是在全局性与同调基依赖性方面？

主要发现

• 在亏格 0 和 1 时，Wirtinger tau-函数显式给出为 $ \tau_W = \frac{\left\{\prod_{k=1}^{N} h_k\right\}^{1/6}}{\left\{\prod_{m=1}^{M} f_m\right\}^{1/12}} $，其中 $ f_m $ 和 $ h_k $ 分别为局部坐标下分支点附近及无穷远支上全纯微分的系数。
• 由于 theta-常数无零点，在亏格 0 和 1 时，Wirtinger tau-函数的 12 次方可延拓为 $ H_{g,N}(1,\dots,1) $ 上的全局全纯函数。
• 在亏格 2 的二重覆盖情形，$ \tau_W^{20} $ 等于 Vandermonde 行列式 $ V(\lambda_1,\dots,\lambda_6) $，且其一阶导数不会同时为零。
• 在高亏格下，Wirtinger tau-函数的模平方由下式给出：$ |\tau_W|^2 = e^{-\mathbb{S}_{\text{Fuchs}}/6} \frac{\det \Delta}{\det \Im \mathbb{B}} \prod_{\beta \text{ even}} |\Theta[\beta](0|\mathbb{B})|^{-\frac{2}{4^{g-1}+2^{g-2}}} $，其中 $ \mathbb{S}_{\text{Fuchs}} $ 为正则化 Liouville 作用量。
• 在 Schottky 统一化下存在等价表达式：$ |\tau_W|^2 = e^{-\mathbb{S}_{\text{Schottky}}/6} |\det \bar{\partial}|^2 \prod_{\beta \text{ even}} |\Theta[\beta](0|\mathbb{B})|^{-\frac{2}{4^{g-1}+2^{g-2}}} $，将 tau-函数与 $ \bar{\partial} $ 的全纯行列式联系起来。
• Fuchsian 与 Schottky 正则化作用量之差满足 $ \mathbb{S}_{\text{Schottky}} - \mathbb{S}_{\text{Fuchs}} = \frac{1}{2\pi} S $，其中 $ S $ 为文献 [18] 中的 Liouville 作用量，尽管该等式的直接证明仍为开放问题。