[论文解读] Tau Functions and Virasoro Symmetries for Drinfeld-Sokolov Hierarchies

Chao‐Zhong Wu|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文通过使用tau对称的哈密顿密度，为所有与仿射Kac-Moody代数相关的Drinfeld-Sokolov层级提出了一种tau函数的统一构造方法，并将Virasoro对称性表示为对tau函数的线性和非线性作用。关键结果是，对于单连通或扭的仿射代数，这些tau函数通过主顶点算符实现与Kac-Wakimoto层级的解一致。

ABSTRACT

For each Drinfeld-Sokolov integrable hierarchy associated to affine Kac-Moody algebra, we obtain a uniform construction of tau function by using tau-symmetric Hamiltonian densities, moreover, we represent its Virasoro symmetries as linear/nonlinear actions on the tau function. The relations between the tau function constructed in this paper and those defined for particular cases of Drinfeld-Sokolov hierarchies in the literature are clarified. We also show that, whenever the affine Kac-Moody algebra is simply-laced or twisted, the tau functions of the Drinfeld-Sokolov hierarchy coincide with the solutions of the corresponding Kac-Wakimoto hierarchy from the principal vertex operator realization of the affine algebra.

研究动机与目标

• 为所有Drinfeld-Sokolov层级构建tau函数提供一种通用方法，以解决现有方法依赖于逐案分析的问题。
• 统一基于表示理论或特定哈密顿密度构造的现有tau函数方法。
• 澄清本研究中定义的tau函数与文献中针对特定层级定义的tau函数之间的关系。
• 建立单连通或扭仿射代数下Drinfeld-Sokolov tau函数与Kac-Wakimoto层级解之间的联系。

提出的方法

• 通过公式 $ \frac{\partial^2 \log \tau}{\partial x \partial t_j} = -\frac{j(\Lambda_j \mid H)}{(\Lambda_j \mid \Lambda_{-j})} $ 实现tau函数的统一构造，其中 $ H $ 是哈密顿密度的生成函数，$ \Lambda_j $ 是主Heisenberg代数的生成元。
• Virasoro对称性通过Kac-Moody-Virasoro代数结构，以对tau函数的线性和非线性作用形式显式实现。
• 该方法依赖于满足 $ \frac{i}{2} \frac{\partial h_i}{\partial t_j} = \frac{j}{2} \frac{\partial h_j}{\partial t_i} $ 的tau对称哈密顿密度，以确保tau函数定义的一致性。
• 对于ADE型层级，通过主分次和不变双线性形式对Virasoro对称性进行线性化。
• 该构造与已知的 $ A_n^{(1)} $ 和 $ D_n^{(1)} $ 层级的tau函数一致。
• 本文建立了当仿射代数为单连通或扭时，Drinfeld-Sokolov tau函数与通过主顶点算符实现获得的Kac-Wakimoto层级解之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为所有Drinfeld-Sokolov层级实现一种不依赖于逐案分析的通用tau函数构造方法？
• RQ2 通过tau对称哈密顿密度定义的tau函数与通过表示理论或顶点算符实现构造的tau函数之间的确切关系是什么？
• RQ3 在Drinfeld-Sokolov层级的背景下，Virasoro对称性如何作用于tau函数？对于ADE型代数，它们能否被线性化？
• RQ4 在何种条件下Drinfeld-Sokolov tau函数与Kac-Wakimoto层级的解一致？
• RQ5 该tau函数构造能否通过辅助分次推广至修正的Drinfeld-Sokolov层级？

主要发现

• 所提出的tau函数公式 $ \frac{\partial^2 \log \tau}{\partial x \partial t_j} = -\frac{j(\Lambda_j \mid H)}{(\Lambda_j \mid \Lambda_{-j})} $ 为所有与仿射Kac-Moody代数相关的Drinfeld-Sokolov层级提供了有效的统一构造。
• 对于 $ A_n^{(1)} $ 和 $ D_n^{(1)} $ 层级，所构造的tau函数与基于哈密顿密度方法的已知结果一致。
• Virasoro对称性被实现为对tau函数的线性和非线性作用，其显式表达式源自Kac-Moody-Virasoro代数结构。
• 当仿射代数为单连通或扭时，Drinfeld-Sokolov tau函数与通过主顶点算符实现获得的Kac-Wakimoto层级解一致。
• 对于具有主分次的修正Drinfeld-Sokolov层级，tau函数 $ \tau $ 和 $ \tilde{\tau} $ 分别对应于特定的辅助分次 $ \mathrm{m} = (1,0,\dots,0) $ 和 $ \mathrm{m} = (1,1,\dots,1) $，并被证明是通用构造的特例。
• 证明表明，当 $ \mathrm{m} = (1,0,\dots,0) $ 时 $ \log \tau_{\bar{\mathrm{m}}} = \log \tau $，当 $ \mathrm{m} = (1,1,\dots,1) $ 时 $ \log \tau_{\bar{\mathrm{m}}} = \log \tilde{\tau} $，从而确认了与现有定义的一致性。