[论文解读] Tau-functions on spaces of holomorphic differentials over Riemann surfaces and determinants of Laplacians in flat metrics with conic singularities

Alexey Kokotov, D. Korotkin|arXiv (Cornell University)|May 4, 2004

Meromorphic and Entire Functions被引用 2

一句话总结

本文为亏格 $ g \geq 1 $ 的紧黎曼曲面上在由阿贝尔微分 $ w $ 诱导的具有平凡 holonomy 的平坦锥形度量下，建立了拉普拉斯算子的 zeta-正则化行列式的全纯分解公式。该结果将经典 Ray-Singer 公式从亏格 1 推广至高亏格情形，以全纯微分空间的表达形式给出全纯表达式。

ABSTRACT

Let $w$ be an Abelian differential on compact Riemann surface of genus $g\geq 1$. We obtain an explicit holomorphic factorization formula for $\zeta$-regularized determinant of the Laplacian in flat conical metrics with trivial holonomy $|w|^2$, generalizing the classical Ray-Singer result in $g=1$.

研究动机与目标

• 将 zeta-正则化拉普拉斯算子行列式在亏格 1 情形下的经典 Ray-Singer 结果推广至高亏格黎曼曲面。
• 在具有平凡 holonomy 的平坦锥形度量下，推导出拉普拉斯算子行列式的显式全纯分解公式。
• 以紧黎曼曲面（亏格 $ g \geq 1 $）上全纯微分的空间来刻画该行列式。

提出的方法

• 利用 zeta-正则化技术，定义具有平凡 holonomy 的平坦锥形度量下拉普拉斯算子的行列式。
• 借助阿贝尔微分 $ w $ 的结构，定义具有锥形奇点的平坦度量 $ |w|^2 $。
• 应用全纯分解技术，将行列式表示为全纯微分的乘积。
• 运用解析延拓以及具有锥形奇点的黎曼曲面上拉普拉斯算子的谱论。
• 依赖于平凡 holonomy 条件，以确保平坦度量结构的一致性，并与复结构相容。
• 通过将行列式与全纯微分空间的几何联系起来，建立分解公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高亏格黎曼曲面上，具有平凡 holonomy 的平坦锥形度量下，拉普拉斯算子的 zeta-正则化行列式应如何表达？
• RQ2 该行列式在全纯微分空间中的全纯结构是什么？
• RQ3 经典 Ray-Singer 公式在亏格 1 情形下如何推广至高亏格曲面？
• RQ4 在具有平凡 holonomy 的条件下，锥形奇点如何影响行列式的分解？
• RQ5 阿贝尔微分 $ w $ 在定义平坦度量及所得行列式公式中起什么作用？

主要发现

• 本文推导出在具有平凡 holonomy 的平坦锥形度量下，亏格 $ g \geq 1 $ 的紧黎曼曲面上拉普拉斯算子的 zeta-正则化行列式的全纯分解公式。
• 该行列式作为阿贝尔微分 $ w $ 的全纯函数被表达出来，推广了 Ray 与 Singer 在亏格 1 情形下的结果。
• 该公式显式依赖于全纯微分空间，反映了曲面的复分析结构。
• 该结果在平凡 holonomy 条件下成立，确保平坦度量全局定义良好。
• zeta-正则化过程即使在存在锥形奇点的情况下，仍能产生有限且可全纯分解的行列式。
• 该构造提供了一个黎曼曲面结构的全纯不变量，将谱不变量推广至高亏格情形。