[论文解读] tau-recurrent sequences and modular forms

Federico Pellarin|arXiv (Cornell University)|May 29, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文引入了一个单参数族的德林费尔德模形式 $ g^\flat_k(z,t) $，统一了正特征模形式中的两类不同的Eisenstein级数。通过分析 $ \tau $-线性递推序列及向量值模形式的形变，作者推导出这些函数的显式 $ u $-展开公式，揭示了其与 $ L $-函数特殊值及极小拟模形式的深刻联系。关键贡献在于一个闭式恒等式，将 $ g^\flat_k $ 表示为 $ h^{q^k} $、$ d_3^\star $ 以及关于 $ t $ 的有理函数的组合，该恒等式在超越性与算术性质方面具有应用价值。

ABSTRACT

In this paper we deal with Drinfeld modular forms, defined and taking values in complete fields of positive characteristic. Our aim is to study a sequence of families of Drinfeld modular forms depending on a parameter t that produces, for certain values of t, several kinds of Eisenstein series considered by Gekeler. We obtain formulas involving these functions. To obtain our results, we introduce and discuss tau-linear recurrent sequences and deformations of vectorial modular forms in this setting.

研究动机与目标

• 为了解释为何在德林费尔德模形式中存在两类不同的Eisenstein级数，而经典模形式中则没有。
• 将这两类Eisenstein级数统一为一个单参数族的模形式 $ g^\flat_k(z,t) $。
• 利用 $ \tau $-线性递推与形变理论，研究该族的算术与解析性质。
• 推导 $ g^\flat_k $ 的显式 $ u $-展开公式，将其与 $ L $-函数的特殊值及极小拟模形式联系起来。
• 在形式洛朗级数域上建立关键生成函数的超越性结果。

提出的方法

• 引入 $ \tau $-线性递推序列作为分析德林费尔德模形式结构的工具。
• 利用参数 $ t $ 定义并研究向量值模形式的形变，从而导出族 $ g^\flat_k(z,t) $。
• 利用德林费尔德模的函数方程与Carlitz指数，推导 $ u $-展开中系数的递推关系。
• 应用算子 $ \tau $ 与 $ \tau $-递推关系，将 $ g^\flat_k $ 与 $ d_3^\star $、$ h $ 及关于 $ t $ 的有理函数联系起来。
• 利用类Eisenstein函数的生成级数及其逆关系，推导涉及 $ G_{k(q-1)} $ 的恒等式。
• 通过形式幂级数展开与赋值理论，证明 $ F^\star $ 与 $ s^{-1}_{\text{Car}} d_1 $ 在 $ \mathbb{C}_\infty(t)((u)) $ 上的超越性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在 $ \mathbb{F}_q[\theta] $ 上的德林费尔德模形式中会出现两类不同的Eisenstein级数，而经典 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 情形中则不会？
• RQ2 能否在德林费尔德情形下，用一个单参数族统一这两类Eisenstein级数？
• RQ3 统一族 $ g^\flat_k(z,t) $ 的 $ u $-展开结构是怎样的？其对参数 $ t $ 的依赖关系如何？
• RQ4 该族如何引出 $ L $-函数的特殊值与极小拟模形式？
• RQ5 生成函数 $ F^\star $ 与 $ s^{-1}_{\text{Car}} d_1 $ 是否在 $ \mathbb{C}_\infty(t)((u)) $ 上超越？

主要发现

• 族 $ g^\flat_k(z,t) $ 将正交与平行Eisenstein级数统一为一个由 $ t $ 参数化的解析对象。
• 推导出一个闭式恒等式：$ g^\flat_k = h^{q^k} \left( d^{(k+1)/2}_2 \sum_{i=0}^{k-1} \frac{(t - \theta^{q^k}) \cdots (t - \theta^{q^{i+1}})}{u^{q^i}} + \cdots \right) $，显式地将该形式与依赖于 $ t $ 的有理函数联系起来。
• $ (d_3^\star)^{(k)}|_{t=\theta} $ 的 $ u $-展开通过定理29计算得出，其公式包含 $ E/u - 1 $ 与 $ h $。
• 推论6表明，将 $ g^\flat_k $ 截断至阶 $ q^{k+1} $ 所得的 $ [g^\flat_k]_{k+1} $ 为 $ -d_2^{(k+1)} u^{-q^k} $，并带有来自 $ t $-相关乘积的修正项。
• $ F^\star $ 被证明在 $ \mathbb{C}_\infty(t)((u)) $ 上超越，其证明基于函数方程与 $ p $-进赋值论证。
• $ s^{-1}_{\text{Car}} d_1 $ 被证明在 $ \mathbb{C}_\infty(t)((u)) $ 上超越，其证明依赖于 $ F^\star $ 的超越性以及 $ d_2 $、$ d_3^\star $ 的代数性质。