[论文解读] Tauberian constants associated to centered translation invariant density bases

Paul Hagelstein, Ioannis Parissis|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Magnetism in coordination complexes被引用 7

一句话总结

本文建立了中心平移不变微分基为密度基的充要条件：该基为密度基当且仅当对任意 0 < α < 1，存在 r > 0，使得直径小于 r 的集合所关联的Tauberian常数 CBr(α) 有限。作者进一步构造了一个反例，表明不存在单一的 r > 0 能对所有 α ∈ (0,1) 一致有界 CBr(α)，从而解决了中心基微分积分理论中的一个关键开放问题。

ABSTRACT

This paper provides a necessary and sufficient condition on Tauberian constants associated to a centered translation invariant differentiation basis so that the basis is a density basis. More precisely, given $x \in \mathbb{R}^n$, let $\mathcal{B} = \cup_{x \in \mathbb{R}^n} \mathcal{B}(x)$ be a collection of bounded open sets in $\mathbb{R}^n$ containing $x$. Suppose moreover that these collections are translation invariant in the sense that, for any two points $x$ and $y$ in $\mathbb{R}^n$ we have that $\mathcal{B}(x + y) = \{R + y : R \in \mathcal{B}(x)\}.$ Associated to these collections is a maximal operator $M_{\mathcal{B}}$ given by $$M_{\mathcal{B}}f(x) :=\sup_{R \in \mathcal{B}(x)} \frac{1}{|R|} \int_R |f|.$$ The Tauberian constants $C_{\mathcal{B}}(\alpha)$ associated to $M_{\mathcal{B}}$ are given by $$C_{\mathcal{B}}(\alpha) :=\sup_{E \subset \mathbb{R}^n \atop 0 < |E| < \infty} \frac{1}{|E|}|\{x \in \mathbb{R}^n :\, M_{\mathcal{B}}\chi_E(x) > \alpha\}|.$$ Given $0 < r < \infty$, we set $\mathcal{B}_r(x) :=\{R \in \mathcal{B}(x) : \mathrm{diam } R < r\}$, and let $\mathcal{B}_r :=\cup_{x \in \mathbb{R}^n} \mathcal{B}_r (x).$ We prove that $\mathcal{B}$ is a density basis if and only if, given $0 < \alpha < \infty$, there exists $ r = r(\alpha) >0$ such that $C_{\mathcal{B}_r}(\alpha) < \infty$. Subsequently, we construct a centered translation invariant density basis $\mathcal{B} = \cup_{x \in \mathbb{R}^n} \mathcal{B}(x)$ such that there does not exist any $0 < r$ satisfying $C_{\mathcal{B}_{r}}(\alpha) < \infty$ for all $0 < \alpha < 1$.

研究动机与目标

• 建立中心平移不变微分基为密度基的必要与充分条件。
• 解决在中心平移不变密度基背景下，是否存在统一的 r > 0 使得对所有 0 < α < 1 都有 CBr(α) < ∞ 的开放问题。
• 提供一个反例，表明对某些中心平移不变密度基，不存在这样的统一 r。
• 将经典的Busemann-Feller定理推广至中心平移不变情形。

提出的方法

• 定义与中心平移不变基 B 关联的极大算子 MB，其中 MBf(x) = sup_{R∈B(x)} (1/|R|) ∫_R |f|。
• 引入Tauberian常数 CB(α) = sup_{0<|E|<∞} (1/|E|) |{x : MBχE(x) > α}|。
• 对每个 r > 0，定义 Br 为 B 中直径小于 r 的集合的集合，并考虑其关联的Tauberian常数 CBr(α)。
• 通过Borel-Cantelli论证证明必要性：构造一个有限测度集 E，使得若 CBr(α) = ∞，则 MBrχE > α 几乎处处成立。
• 通过几何论证和Stein-Nikishin理论证明充分性，以控制极大函数的行为。
• 构造一个具体的中心平移不变基的例子，使得对所有 r > 0 和所有 α ∈ (0,1) 都有 CBr(α) = ∞，从而表明该条件的非一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个中心平移不变微分基为密度基的充要条件，以截断基的Tauberian常数表达？
• RQ2 在中心平移不变设定下，Tauberian条件 CBr(α) < ∞ 是否能在某个 r > 0 下对所有 α ∈ (0,1) 一致满足？
• RQ3 经典Busemann-Feller定理是否可推广至中心平移不变情形？若可，其条件有何不同？
• RQ4 能否构造一个中心平移不变密度基，使得不存在单一的 r > 0 保证对所有 α ∈ (0,1) 都有 CBr(α) < ∞？
• RQ5 是否存在一个平移不变的Busemann-Feller基，使得 CB(1/2) < ∞ 但对某个 α ∈ (0,1) 有 CB(α) = ∞？
• RQ6 若对一个平移不变的Busemann-Feller基有 CB(1/2) < ∞，是否必有 CB(α) < ∞ 对所有 α ∈ (0,1) 成立？

主要发现

• 中心平移不变微分基 B 是密度基当且仅当对每个 0 < α < 1，存在 r = r(α) > 0 使得 CBr(α) < ∞。
• 即使基不具有位似不变性，CBr(α) < ∞ 对某个 r > 0 的条件仍是 B 为密度基的必要且充分条件。
• 构造了一个反例，其中 B 是一个中心平移不变密度基，但对所有 r > 0 和所有 α ∈ (0,1) 都有 CBr(α) = ∞，表明不存在统一的 r。
• 对该构造的基，CBr(α) = ∞ 对所有 r > 0 和所有 α ∈ (0,1) 成立，表明Tauberian条件无法在 α 上一致有界。
• 该例子是首个已知的与极大算子不满足弱型 (p,p) 或非平凡弱型估计相关的中心平移不变密度基。
• 结果表明，中心平移不变基的de Guzman问题类比问题的答案为否定，因为不存在这样的统一 r。