[论文解读] Tautological Hilbert scheme invariants of Calabi-Yau 4-folds via virtual pullback

Yalong Cao, F. Qu|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文利用虚拟上拉技术证明了Cao-Kool关于卡拉比-丘4流形上希尔伯特纲的典型不变量的猜想。它建立了4流形的不变量与光滑除子的不变量之间的精确对应关系，确认了这些不变量的生成系列与第一陈类和第三陈类加权的MacMahon函数一致。

ABSTRACT

Let $X$ be a Calabi-Yau 4-fold and $D$ a smooth connected divisor on it. We consider tautological bundles of $L=\mathcal{O}_X(D)$ on Hilbert schemes of points on $X$ and their counting invariants defined by integrating the Euler classes against the virtual classes. We relate these invariants to Maulik-Nekrasov-Okounkov-Pandharipande's invariants of Hilbert schemes of points on $D$ by virtual pullback technique and confirm a conjecture of Cao-Kool. The same strategy is also applied to obtain a virtual pullback formula for tautological invariants of one dimensional stable sheaves. This in turn gives a nontrivial identity on primary and descendent invariants as studied in the works of Cao, Maulik and Toda.

研究动机与目标

• 证明Cao-Kool关于卡拉比-丘4流形上希尔伯特纲的典型不变量与MacMahon函数关系的猜想。
• 建立一个虚拟上拉公式，将4流形X的不变量与一个光滑除子D ⊂ X的不变量联系起来。
• 将虚拟上拉技术推广至一维稳定层，并推导出主不变量与下位不变量之间的新恒等式。
• 确认X与除子D在零亏格Gopakumar-Vafa不变量之间存在非平凡关系。

提出的方法

• 将虚拟上拉技术应用于X与D上希尔伯特纲之间障碍理论的相容图谱。
• 利用希尔伯特纲的导出模空间结构及其移位辛结构来定义虚拟类。
• 依赖Borisov-Joyce构造的DT4虚拟类以及Oh-Thomas在Z[1/2]上的代数周期上拉。
• 使用Grothendieck-Riemann-Roch定理与行列式线丛同构，将X上的典型丛与D上的对应丛联系起来。
• 应用归一化普遍层与陈示性类分解，将不变量表示为下位插入项的形式。
• 推导出一维稳定层的虚拟上拉公式，并利用其获得不变量之间的恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 卡拉比-丘4流形上希尔伯特纲的典型不变量的生成系列是否如Cao-Kool所猜想的那样与MacMahon函数一致？
• RQ2 虚拟上拉技术能否用于将卡拉比-丘4流形上的不变量与光滑除子上的不变量联系起来？
• RQ3 一维稳定层在卡拉比-丘4流形及其除子上的主不变量与下位不变量之间存在何种精确关系？
• RQ4 在虚拟上拉框架下，X与D的零亏格Gopakumar-Vafa不变量之间如何关联？
• RQ5 能否使用虚拟上拉方法验证关于下位不变量的猜想公式？

主要发现

• Cao-Kool的猜想得到证实：对于任意卡拉比-丘4流形X及满足c₁(L) = c₁(𝒪_X(D))的线丛L（其中D为光滑连通除子），不变量Iₙ(X,L)的生成系列等于M(−q)^∫_X c₁(L)·c₃(X)，其中M(q)为MacMahon函数。
• 虚拟上拉公式建立了直接对应关系：在给定条件下，∫_{[Hilbⁿ(X)]^vir} e(L^{[n]}) = ∫_{[Hilbⁿ(D)]^vir} 1（至多相差定向符号）。
• 该方法导出一个非平凡恒等式：½⟨τ₀(c₁²(L))⟩_β + ¹⁄₁₂⟨τ₀(c₂(X))⟩_β + ⟨τ₁(c₁(L))⟩_β + ⟨τ₂(1)⟩_β = n₀,β(D)，将X与D上的不变量联系起来。
• 该结果可推广至一维稳定层，表明虚拟上拉公式对这类模空间也成立。
• 本文确认了X与D之间零亏格Gopakumar-Vafa不变量的猜想关系，其中D上的不变量可表示为X上不变量的组合。
• 该证明对ℙ⁵中光滑六次4流形的所有有效除子均成立，因为根据Bertini定理，此类除子存在且满足所需条件。