[论文解读] Taylor expansions of solutions of stochastic partial differential equations

Arnulf Jentzen|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 16

一句话总结

本文提出了一种新颖方法，用于推导由无限维布朗运动驱动的随机偏微分方程（SPDEs）解的高阶随机泰勒展开，这些方程由于缺乏半鞅性质而不满足伊藤公式。通过结合非线性系数的古典泰勒展开与温和解表示的递归代入，并利用随机树和森林等组合结构，该方法在不依赖随机分析的前提下实现了任意高阶展开，从而为数值方案提供了精确的误差估计。

ABSTRACT

The solutions of parabolic and hyperbolic stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by an infinite dimensional Brownian motion, which is a martingale, are in general not semi-martingales any more and therefore do not satisfy an It\^o formula like the solutions of finite dimensional stochastic differential equations (SODEs). In particular, it is not possible to derive stochastic Taylor expansions as for the solutions of SODEs using an iterated application of the It\^o formula. However, in this article we introduce Taylor expansions of solutions of SPDEs via an alternative approach, which avoids the need of an It\^o formula. The main idea behind these Taylor expansions is to use first classical Taylor expansions for the nonlinear coefficients of the SPDE and then to insert recursively the mild presentation of the solution of the SPDE. The iteration of this idea allows us to derive stochastic Taylor expansions of arbitrarily high order. Combinatorial concepts of trees and woods provide a compact formulation of the Taylor expansions.

研究动机与目标

• 为由无限维布朗运动驱动的SPDE解开发高阶泰勒展开，这些SPDE解并非半鞅，因此不适用标准的伊藤微积分。
• 通过引入一种避免随机积分规则的替代展开框架，克服无限维SPDE中伊藤公式失效的问题。
• 提出一种系统化、组合结构化的高阶展开推导方法，利用系数的古典泰勒展开与温和解形式的递归代入，实现任意高阶展开。
• 在对驱动噪声和系数光滑性要求最小的假设下，建立展开式余项的严格误差估计。
• 为构建更高阶SPDE数值格式并实现更优收敛速率奠定理论基础。

提出的方法

• 对SPDE中的非线性漂移F和扩散B系数使用经典泰勒展开，围绕解过程展开。
• 将SPDE解的温和积分形式递归代入F和B的泰勒展开中，以生成更高阶项。
• 采用组合结构——特别是随机树和森林——以紧凑方式表示和组织复杂的递归展开项。
• 在无限维空间中应用Burkholder-Davis-Gundy不等式，以控制展开中出现的随机积分的Lp-范数。
• 通过利用半群e^{At}的正则性、算子的希尔伯特-施密特范数以及对系数的霍尔德型估计，推导余项的误差界。
• 通过S-树中节点数的归纳法，证明展开项的Lp-估计，从而确立其收敛阶。

实验结果

研究问题

• RQ1 当SPDE解不是半鞅、因此伊藤公式不适用时，能否为由无限维布朗运动驱动的SPDE推导出高阶随机泰勒展开？
• RQ2 在不依赖随机链式法则或伊藤公式的情况下，可采用何种替代方法构造此类展开？
• RQ3 如何利用SPDE解的递归结构生成任意高阶展开？
• RQ4 何种组合框架能够紧凑地表示SPDE高阶展开中出现的复杂项？
• RQ5 在光滑性和可积性假设最小的前提下，能否对这类展开中的余项建立严格的误差估计？

主要发现

• 所提方法成功推导出SPDE的任意高阶随机泰勒展开，且无需解为半鞅或使用伊藤公式。
• 该方法依赖于系数F和B的经典泰勒展开，结合温和解表示的递归代入，可系统化构造高阶项。
• 随机树与森林等组合工具为展开项提供了紧凑且结构化的表达形式，有利于分析与实现。
• 展开式的余项在Lp-范数下得到估计，具有明确的收敛速率，例如：一阶展开为O((Δt)^{1/4})，二阶展开为O((Δt)^{1/2−r})，三阶展开为O((Δt)^{3/4−2r})。
• 该框架具有鲁棒性，在噪声假设最小（如无限二次变差）下依然有效，适用于加法型与乘法型噪声的SPDE。
• 该理论基础为开发更高阶SPDE数值格式提供了可能，有望在收敛速率上优于现有方法（如线性隐式欧拉格式）。