[论文解读] Taylor's series expansions for even powers of inverse cosine function and series representations for powers of Pi

Feng Qi|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2021

Functional Equations Stability Results被引用 4

一句话总结

本文通过正弦与余弦函数的复合，推导出反（双曲）余弦函数偶次幂的泰勒级数展开，以第一类斯特林数表示。该研究恢复了已知的反（双曲）正弦函数幂级数，建立了新的组合恒等式，并提出了π及其偶次幂的新级数表示。

ABSTRACT

In the paper, via series expansions of composite functions of the (hyperbolic) sine and cosine functions with the inverse sine and cosine functions respectively, the author establishes Taylor's series expansions of even powers of the inverse (hyperbolic) cosine function in terms of the Stirling numbers of the first kind, recovers series expansions of powers of the inverse (hyperbolic) sine function in terms of the Stirling numbers of the first kind, derives several combinatorial identities involving the Stirling numbers of the first kind, and presents several series representations of the circular constant Pi and its (even) powers.

研究动机与目标

• 通过函数复合技术，推导反（双曲）余弦函数偶次幂的泰勒级数展开。
• 利用第一类斯特林数，恢复并推广已知的反（双曲）正弦函数幂级数展开。
• 通过级数运算，建立涉及第一类斯特林数的新组合恒等式。
• 提出数学常数π及其偶次幂的新无穷级数表示。
• 利用特殊数列统一并拓展已知的反三角函数级数结果。

提出的方法

• 利用反三角函数与双曲函数复合的正弦和余弦函数的级数展开。
• 应用已知的生成函数与级数恒等式，将反余弦的高次幂表示为第一类斯特林数的形式。
• 采用生成函数技术与系数比较，推导递推关系与闭式表达式。
• 利用反三角函数与双曲函数的对称性与函数恒等式，简化展开式。
• 通过组合运算，提取涉及第一类斯特林数的恒等式。
• 通过在特定点求值或极限过程，推导π及其偶次幂的级数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用特殊数列，将反余弦函数的偶次幂展开为泰勒级数？
• RQ2 反（双曲）余弦与正弦函数的级数展开中，会涌现出哪些组合恒等式？
• RQ3 能否从这些函数复合中推导出π及其偶次幂的新级数表示？
• RQ4 第一类斯特林数如何自然地出现在反三角函数级数展开中？
• RQ5 哪些函数与代数性质使得已知的反三角函数级数得以恢复与拓展？

主要发现

• 本文推导出反（双曲）余弦函数偶次幂的显式泰勒级数展开，其以第一类斯特林数表示。
• 通过相同的方法论框架，恢复了反（双曲）正弦函数幂级数的已知结果。
• 作为级数展开的直接推论，建立了若干涉及第一类斯特林数的新组合恒等式。
• 提出了π及其偶次幂的新无穷级数表示，提供了替代的计算与分析工具。
• 函数复合方法为反三角函数与双曲函数的级数展开提供了统一的视角。
• 结果表明，特殊函数、斯特林数与常数π之间存在深刻的结构关联。