[论文解读] TaylUR, an arbitrary-order automatic differentiation package for Fortran 95

Peter H. von Hippel|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2005

Numerical Methods and Algorithms被引用 5

一句话总结

TaylUR 是一个 Fortran 95 软件包，通过重载算术运算符和内建函数使其能够对复值函数（不包括混合导数）实现任意阶自动微分，方法是让这些运算符和函数作用于泰勒级数对象。它利用莱布尼茨法则和法多布罗诺公式，通过面向对象编程和运算符重载高效计算导数。

ABSTRACT

We present TaylUR, a Fortran 95 module to automatically compute the numerical values of a complex-valued function's derivatives w.r.t. several variables up to an arbitrary order in each variable, but excluding mixed derivatives. Arithmetic operators and Fortran intrinsics are overloaded to act correctly on objects of defined type taylor, which encodes a function along with its first few derivatives w.r.t. the user-defined independent variables. Derivatives of products and composite functions are computed using Leibniz's rule and Faa di Bruno's formula. TaylUR makes heavy use of operator overloading and other object-oriented Fortran 95 features.

研究动机与目标

• 为在 Fortran 95 中计算复值函数的高阶导数提供一个灵活且可扩展的框架。
• 在每个自变量中支持任意阶导数，但排除混合导数。
• 通过重载算术运算符和 Fortran 内建函数，实现透明的微分操作。
• 利用莱布尼茨法则和法多布罗诺公式等数学规则，实现复合函数和乘积函数的导数计算。
• 利用现代 Fortran 95 面向对象特性，以类型安全的方式封装函数及其导数信息。

提出的方法

• 定义一个派生类型 'taylor'，用于表示每个自变量在指定阶数内的函数及其导数。
• 重载算术运算符（+、-、*、/ 等）和 Fortran 内建函数，使其作用于 'taylor' 对象，正确传播导数。
• 应用莱布尼茨法则计算函数乘积的导数，以保持乘法运算中的精度。
• 使用法多布罗诺公式计算复合函数的高阶导数，确保泰勒级数传播的正确性。
• 通过类型绑定过程和运算符重载，支持在标准 Fortran 表达式中透明地进行微分。
• 限制计算仅限于每个变量的纯导数，排除混合导数，以降低复杂度和内存开销。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 Fortran 95 中高效计算复值函数的任意阶导数（不包括混合导数）？
• RQ2 Fortran 95 中的运算符重载和面向对象特性在实现稳健自动微分系统方面的适用程度如何？
• RQ3 莱布尼茨法则和法多布罗诺公式能否在类型系统中有效编码，以支持高阶导数传播？
• RQ4 TaylUR 的设计在编译型语言如 Fortran 中如何在性能、正确性和可扩展性之间取得平衡？
• RQ5 在微分模型中排除混合导数存在哪些局限性和权衡？

主要发现

• TaylUR 使用 Fortran 95 中类型安全的面向对象设计，成功实现了每个自变量中任意阶导数的计算。
• 通过运算符重载，可无缝将微分功能集成到现有 Fortran 代码库中，无需语法开销。
• 通过法多布罗诺公式，复合函数的导数被准确计算，确保嵌套函数求值的正确性。
• 通过排除混合导数，该软件包保持了计算效率，降低了存储和计算复杂度。
• 该实现表明，现代 Fortran 95 特性足以构建强大且可扩展的自动微分系统。
• 该方法可为需要多变量高阶导数的科学计算工作负载提供高精度的导数计算能力。