[论文解读] Technical Report: Observability of a Linear System under Sparsity Constraints

Wei Dai, Serdar Yüksel|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文证明，在线性系统中，若初始状态为稀疏（非零分量不超过 k 个），则可通过远少于 n 次观测实现精确重构——具体而言，仅需 O(k log(n/k)) 次观测，且适用于确定性和随机系统动态。关键洞见在于，稀疏性使得即使观测随机采样，也能通过压缩感知技术实现精确恢复，显著降低了控制与估计系统中的测量需求。

ABSTRACT

Consider an n-dimensional linear system where it is known that there are at most k

研究动机与目标

• 解决初始状态已知为稀疏（即最多 k 个非零分量）而非全维的线性系统的可观测性问题。
• 确定在稀疏性约束下，唯一重构初始状态所需的最少观测次数。
• 将可观测性理论扩展至随机与确定性情形，尤其适用于观测有限或随机采样的场景。
• 证明压缩感知原理可有效应用于具有稀疏初始条件的线性控制系统，以减少测量需求。

提出的方法

• 将系统建模为具有状态转移矩阵 A 和观测矩阵 C 的离散时间线性时不变系统，其中观测仅在随机时间点 t₁,…,tₘ 可得。
• 将整体观测矩阵 O_Tₘ 构建为每个观测时间点的 C·Aᵗⁱ 的堆叠矩阵，使得 y_Tₘ = O_Tₘ x₀。
• 通过将观测矩阵视为测量矩阵，应用压缩感知理论，当 O_Tₘ 满行秩时，可通过 ℓ₁-最小化实现稀疏 x₀ 的恢复。
• 利用随机矩阵理论及 A 和 C 的旋转不变性与各向同性分布性质，证明在较弱条件下，O_Tₘ 几乎必然具有满行秩。
• 通过利用由系统动态导出的范德蒙德矩阵结构，证明即使观测随机选择，也可通过 m = O(k log(n/k)) 次观测实现可观测性。
• 证明重构复杂度在 n 上为多项式时间，使该方法在大规模系统中具有计算可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅有少量观测可用时，若初始状态为稀疏，是否可唯一恢复线性系统的初始状态？
• RQ2 在何种最小观测次数下，可保证对线性系统中 k-稀疏初始状态的精确恢复？
• RQ3 当系统矩阵 A 和 C 为随机分布（即随机情形）而非确定性时，可观测性条件如何变化？
• RQ4 压缩感知技术是否可有效应用于具有稀疏初始状态的线性控制系统，以降低测量需求？

主要发现

• 在初始状态为 k-稀疏的前提下，即使观测随机采样，系统仍可通过仅 O(k log(n/k)) 次观测以高概率实现可观测性。
• 当系统矩阵 A 和 C 为各向同性分布时，观测矩阵 O_Tₘ 几乎必然具有满行秩，从而确保稀疏初始状态的唯一恢复。
• 可通过 ℓ₁-最小化实现初始状态的精确恢复，该方法计算高效，时间复杂度在 n 上为多项式。
• 该结果在确定性和随机系统动态下均成立，其中随机情形依赖于随机矩阵在旋转下的不变性。
• 所需观测次数随 n/k 的对数增长，与需 n 次观测的全可观测性相比，显著降低了测量负担。
• 重构过程具有鲁棒性与可扩展性，因其依赖于标准压缩感知工具（如 SVD、矩阵乘法和 ℓ₁-最小化），所有操作在 n 上为多项式时间。