[论文解读] Teichmueller curves generated by Weierstrass Prym eigenforms in genus three and genus four

Erwan Lanneau, Duc-Manh Nguyen|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文利用原型和蝴蝶移动分析组合连通性，对具有单零点的三性中Prym特征形式生成的Teichmüller曲线进行分类。结果表明，当判别式 $D \geq 17$ 时，若 $D \equiv 1 \pmod{8}$，则存在两条曲线；若 $D \equiv 0,4 \pmod{8}$，则存在一条曲线；若 $D \equiv 5 \pmod{8}$，则不存在曲线，但存在小 $D$ 的例外情况；该分类依赖于在 stratum $\Omega\mathfrak{M}(4)$ 中的实乘法与模形式动力系统。

ABSTRACT

This paper is devoted to the classification of the infinite families of Teichmuller curves generated by Prym eigenforms of genus 3 having a single zero. These curves were discovered by McMullen. The main invariants of our classification is the discriminant D of the corresponding quadratic order, and the generators of this order. It turns out that for D sufficiently large, there are two Teichmueller curves when D=1 modulo 8, only one Teichmueller curve when D=0,4 modulo 8, and no Teichmueller curves when D=5 modulo 8. For small values of D, where this classification is not necessarily true, the number of Teichmueller curves can be determined directly. The ingredients of our proof are first, a description of these curves in terms of prototypes and models, and then a careful analysis of the combinatorial connectedness in the spirit of McMullen. As a consequence, we obtain a description of cusps of Teichmueller curves given by Prym eigenforms. We would like also to emphasis that even though we have the same statement compared to, when D=1 modulo 8, the reason for this disconnectedness is different. The classification of these Teichmueller curves plays a key role in our investigation of the dynamics of SL(2,R) on the intersection of the Prym eigenform locus with the stratum H(2,2), which is the object of a forthcoming paper.

研究动机与目标

• 对具有单零点的三性中Weierstrass Prym特征形式生成的无限Teichmüller曲线族进行分类。
• 根据关联二次序的判别式 $D$ 确定Prym特征形式轨线 $\Omega E_D(4)$ 的连通分量数量。
• 通过蝴蝶移动分析原型的组合连通性，将McMullen的方法扩展至更高亏格。
• 利用参数化原型与交形式描述这些Teichmüller曲线的广义点。
• 为分类 $\mathrm{GL}^+(2,\mathbb{R})$-轨道及其在Prym特征形式轨线与 stratum $\Omega\mathfrak{M}(2,2)^{\mathrm{odd}}$ 交集中的分量奠定基础。

提出的方法

• 作者使用原型来建模与Prym特征形式相关的翻译曲面，通过满足 $D = e^2 + 4wh$ 的整数参数 $(w,h,t,e)$ 编码几何与动力学数据。
• 蝴蝶移动 $B_q$ 定义为保持分解类型不变的原型变换，其作用为：当 $q \in \mathbb{N}$ 时，$e' = -e - 4qh$，$h' = \gcd(qh, w + qt)$；当 $q = \infty$ 时，$e' = -e - 4h$，$h' = \gcd(t,h)$。
• 通过蝴蝶移动下的等价类分析约化原型集合 $\tilde{\mathcal{P}}_D$，其分量对应于轨线的连通分量。
• 分类依赖于对 $e \mod 8$ 的奇偶性与同余类的分析，尤其区分 $D \equiv 0,1,4,5 \pmod{8}$ 的情形。
• 利用反不变上同调 $H^1(X,\mathbb{C})^-$ 上的交形式验证特征形式的存在性，其形式在四性中为 $\begin{pmatrix} 2J & 0 \\ 0 & 2J \end{pmatrix}$。
• 通过类似原型模型与广义点的参数化，将分析扩展至四性，结果推广至 $\Omega E_D(6)$，采用类似方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的判别式 $D$，轨线 $\Omega E_D(4)$ 有多少个连通分量？
• RQ2 判别式 $D \mod 8$ 在决定三性中Prym特征形式生成的Teichmüller曲线数量时起什么作用？
• RQ3 为何 $D \equiv 1 \pmod{8}$ 的情形产生两个分量，这与亏格二的情形有何不同？
• RQ4 这些Teichmüller曲线的广义点具有何种结构，如何对其进行参数化？
• RQ5 原型上的蝴蝶移动如何决定Prym特征形式轨线的连通分量？

主要发现

• 当 $D \geq 17$ 时，$\Omega E_D(4)$ 非空当且仅当 $D \equiv 0,1,4 \pmod{8}$，且当 $D \equiv 1 \pmod{8}$ 时轨线不连通，恰好有两个连通分量。
• 当 $D \equiv 0$ 或 $4 \pmod{8}$ 时，$\Omega E_D(4)$ 连通；当 $D \equiv 5 \pmod{8}$ 时，不存在此类曲线。
• 当 $D < 17$ 时，仅 $D = 8$ 和 $D = 12$ 时 $\Omega E_D(4)$ 非空，且两种情况下轨线均连通。
• 在 $\Omega E_8(4)$ 中的曲面不包含简单圆柱面，这是普通翻译曲面所不具备的罕见性质。
• 当 $D = 12$ 和 $D = 16$ 时，原型集合 $\tilde{\mathcal{P}}_D$ 非空且有三个分量；当 $D$ 为偶数且 $D \not\equiv 1 \pmod{8}$ 时，有两个分量。
• $\tilde{\mathcal{P}}_D$ 的分量结构由 $e \mod 8$ 的同余类决定，不同分量源于蝴蝶移动下的奇偶性与模约束。